概率论与数理统计第一章随机事件与概率学习总结

昨天加今天，抽着时间算是把概率论的第一章学习了下，同时找了个网上针对考研的某位大神的概率论强化课程刷了一遍（虽然我现在离考研还有点早，嘛，也不算早了应该）。总的来说，第一章没什么太难的地方，大多都是概念或是定义之类的，但不能松懈，征程才刚刚开始！冲鸭！

现把第一章所涉及到的知识脉络理一理，有些十分简单或是不太重要的地方就简单提一下，毕竟谁也不想把时间花在无用的地方。

一、随机事件与样本空间

（1）随机试验

随机试验牢记三个要点：可在相同条件下重复进行；所有可能结果事前已知；每次实验无法提前预知结果。

考研数学是不会考你定义这种东西的，因此这里理解就好，不必下死工夫去背啊。

（2）样本空间

随机实验的每一个可能结果称为一个样本点，一般记为ω。由全体样本点组成的集合称为样本空间，记为Ω。

因为样本空间是一个集合，而样本点是该集合中的元素，因此稍后提出的许多知识其实都能与集合论中的有关知识相对应。

（3）随机事件

样本空间的子集称为随机事件，简称事件，一般记作A、B…。如果一次随机试验的结果（即某个样本点）被包含于该事件子集中，我们称事件发生，否则称不发生。

几个特殊的随机事件：
        如果该子集中只有一个样本点，称这样的事件为基本事件。
        如果该集合为样本空间Ω本身，称这样的事件为必然事件。因为不管怎样，Ω事件都会发生。
        如果该集合为∅，则称事件∅为不可能事件。

二、事件间的关系与运算

（因为有集合论的知识所以有些地方我只是提一下）
（注：以下这些关系都可以对应着文氏图来理解，但图我就不画了，毕竟比较简单）

（1）事件的交
A∩B = AB

（2）事件的并
A∪B = A + B

（3）事件的相等（A = B）

（4）事件的包含（A ⊂ B）

（5）事件的互斥（AB = ∅）

事件A与B在任一次试验中不可能同时发生，也称A、B互不相容。则称A、B互斥。

（6）事件的对立

事件A与事件B在一次随机试验中有且仅有一个发生，则称A、B为对立事件，或互逆事件。记作：

若A、B为对立事件，则必满足： A∪B = Ω，A∩B = ∅。

注意互斥与对立的区别：
        若A、B互斥，则 A∪B ⊂ Ω
        若A、B对立，则 A∪B = Ω
        因此，对立必然互斥，但互斥不一定对立。

（7）事件的差

事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A与B的差，记作A - B。

有一个小等式需要牢记：

（8）事件的运算率（学习时记的一些笔记，字虽然丑，但应该还能看，，）

三、概率、条件概率以及事件独立性

（1）概率的公理化定义

注意三个条件（非负性、规范性、可列可加性）

（2）概率的性质

（3）条件概率

（4）事件的独立性

四、五大公式

概率论五大基本公式有：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式。

贝叶斯公式：

贝叶斯公式在我另一篇博客中作为一个独立模块被介绍，传送门：
对贝叶斯公式的简单理解

五、古典概型、几何概型、伯努利试验

（1）古典概型

定义
        若随机实验满足如下条件：
        #1 有限性：样本空间只有有限个样本点；
        #2 等可能性：每一个样本点的发生具有相等的可能性。
称该随机试验为古典概型。

对于古典概型，若样本空间有n个样本点，任取k个样本点组成事件A，则事件A发生的概率为：

（2）几何概型

定义
        若随机实验满足如下条件：
        #1 可度量性：样本空间Ω是一个几何区域（一维、二维、三维等），该区域的大小可以被度量（长度、面积、体积等），并把Ω的度量记为L(Ω)；
        #2 等可能性：试验结果出现在Ω中的任一区域的可能性是相同的。
称这样的随机试验为几何概型。

对于几何概型，同样有：

（3）伯努利试验

独立重复试验：将一随机试验独立重复进行若干次，且同一事件在各个试验中出现的概率相同。称这样的试验为独立重复试验。

六、小结

注：本概率论专题争取一周或两周更一次（更新太频繁的话当前的学业就无法保障了）。另外像这种知识必须还需要辅以一定量的习题练习才有可能真正将知识融会贯通，因此一些我觉得好的题目或者是有趣的题目也会写出来分享，同时也算是起到一个错题集的作用（嗯，，错题集这个词汇好陌生，好像最后一次使用错题集是在高中，，）。

这也算是立了一个flag吧，寒假前啃掉概率论，嗯，我觉得我可以。