时间序列预测基本方法：移动平均（SMA，EMA，WMA）

移动平均作为时间序列中最基本的预测方法，计算简单却很实用。不仅可以用来做预测，还有一些其他的重要作用，比如平滑序列波动，揭示时间序列的趋势特征。

移动平均简而言之即使用前n个时刻的观测值来预测下一个时刻的取值。移动平均可以分为简单移动平均、加权移动平均、指数移动平均等。注意：移动平均用于预测场景时，尤其是多步预测，需要要求序列相对平稳，没有趋势、季节性的情况。

问题公式化

给定一个时间序列{X_t}，观测值序列为：x₁，x₂，…，x_t
x_t+1为可预测为前n项的平均值，即x_t+1=E({x_t-n+1,x_t-n+2,…,x_t})，n表示窗口大小需要往前推多少时刻。

移动平均能够去除时间序列的短期波动，使得数据变得平滑，从而可以方便的看出序列的趋势特征。原序列波动较大，经过移动平均后，随机波动会明显减少，窗大小n越大，平滑后波动越小，滞后越明显。

简单移动平均（Simple Moving Average，SMA）

SMAtSMA_tSMAt(n)(n)(n) = 1n\frac{1}{n}n1 ∑i=t−n+1t\textstyle\sum_{i=t-n+1}^t∑i=t−n+1t xnx_nxn
nnn是窗口大小，SMAtSMA_tSMAt表示ttt时刻的移动平均值

SMA案例代码

# 导包
import numpy as np
from pandas import read_csv
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
# 读取数据
df = pd.read_csv('household_power_consumption_days.csv', sep=',', header=0,usecols=[0,1],parse_dates={'date':[0]},index_col=['date'])
# 真实数据列'Global_active_power'
real = df['Global_active_power']# 取前6个时刻的数据预测下一时刻的数据
rolling = df['Global_active_power'].rolling(window=6)
rolling_mean = rolling.mean()# 查看真实数据的维度和预测数据的维度
print("real Shape-- ",real.shape)#(1442,)
print("rolling_mean Shape-- ",rolling_mean.shape)#(1442,)

预测结果可视化

# 取最后258个时刻的数据绘图
plt.plot(real[-260:-2], color = 'red', label = 'Real')
plt.plot(rolling_mean[-260:-2], color = 'blue', label = 'Predicted')
plt.xlabel('Time')
plt.legend()
plt.show()

计算误差

real = real[-260:-2]
pred = rolling_mean[-260:-2]from sklearn.metrics import mean_absolute_error
from sklearn.metrics import mean_squared_error
# 计算误差
mae = mean_absolute_error(pred,real)
mse = mean_squared_error(pred,real)
print("MAE:",mae) # MAE: 218.50487338501293
print("MSE:",mse) # MSE: 90166.86320972697

加权移动平均（Weighted Moving Average，WMA）

与SMA类似，但是在计算平均数时不是等量齐观的，可以给最近的观测值相对历史观测值更大的权重。比容，最近的用电量对预测日最有影响力，历史用电量随着时间拉长影响力越小。
WMAtWMA_tWMAt(n)(n)(n) = w1xt+w2xt−1+...+wn−1xt−n+2+xt−n+1w1+w2+...+wn\frac{ w_1x_t+w_2x_t-1+...+w_n-1x_t-n+2+x_t-n+1 }{w_1+w_2+...+w_n}w1+w2+...+wnw1xt+w2xt−1+...+wn−1xt−n+2+xt−n+1
nnn是窗口大小，WMAtWMA_tWMAt表示ttt时刻的移动平均值。
权重系数为n到0n到0n到0，即最近的一个数值权重为nnn，次近的为n−1n-1n−1，以此类推，直到000。
WMAtWMA_tWMAt(n)(n)(n) = nxt+(n−1)xt−1+...+2xt−n+2+xt−n+1n+(n−1)+...+2+1\frac{nx_t+(n-1)x_t-1+...+2x_t-n+2+x_t-n+1 }{n+(n-1)+...+2+1}n+(n−1)+...+2+1nxt+(n−1)xt−1+...+2xt−n+2+xt−n+1

WMA案例代码

# 导包
import numpy as np
from pandas import read_csv
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
# 读取数据
df = pd.read_csv('household_power_consumption_days.csv', sep=',', header=0,usecols=[0,1],parse_dates={'date':[0]},index_col=['date'])
# 真实数据列'Global_active_power'
real = df['Global_active_power']# 权重函数
def WMA(close, n):weights = np.array(range(1, n+1))sum_weights = np.sum(weights)res = close.rolling(window=n).apply(lambda x: np.sum(weights*x) / sum_weights, raw=False)return res# 取前6个时刻的数据加权预测下一时刻的数据
df['WMA'] = WMA(df['Global_active_power'],6)
rolling_mean = df['WMA']# 查看真实数据的维度和预测数据的维度
print("real Shape-- ",real.shape)#(1442,)
print("rolling_mean Shape-- ",rolling_mean.shape)#(1442,)

预测结果可视化

# 取最后258个时刻的数据绘图
plt.plot(real[-260:-2], color = 'red', label = 'Real')
plt.plot(rolling_mean[-260:-2], color = 'blue', label = 'Predicted')
plt.xlabel('Time')
plt.legend()
plt.show()

计算误差

real = real[-260:-2]
pred = rolling_mean[-260:-2]from sklearn.metrics import mean_absolute_error
from sklearn.metrics import mean_squared_error
# 计算误差
mae = mean_absolute_error(pred,real)
mse = mean_squared_error(pred,real)
print("MAE:",mae) # MAE: 181.05885714285714
print("MSE:",mse) # MSE: 66044.51492577454

指数移动平均（Exponential Moving Average，EMA）

可以看成一种特殊的加权移动平均，也称为指数加权移动平均（EWMA）。与WMA类似，它为以前的数值分配了一系列固定的指数递减权重，即权重系数随着时间呈指数下降。EMA提供了一个更明显的指标，能更快地反映最近的趋势。

EMAtEMA_tEMAt = xt+(1−α)xt−1+(1−α)2xt−2...+(1−α)tx01+(1−α)+(1−α)2+...+(1−α)t\frac{x_t+(1-\alpha)x_t-1+(1-\alpha)^2x_t-2...+(1-\alpha)^tx_0}{1+(1-\alpha)+(1-\alpha)^2+...+(1-\alpha)^t}1+(1−α)+(1−α)2+...+(1−α)txt+(1−α)xt−1+(1−α)2xt−2...+(1−α)tx0
ttt是窗口大小，0<α<=10<\alpha<=10<α<=1为平滑因子，(1-\alpha)^i为呈指数增加的权重，期数离预测时刻越近权重越大。

EMA案例代码

# 导包
import numpy as np
from pandas import read_csv
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
# 读取数据
df = pd.read_csv('household_power_consumption_days.csv', sep=',', header=0,usecols=[0,1],parse_dates={'date':[0]},index_col=['date'])
# 真实数据列'Global_active_power'
real = df['Global_active_power']# 指数函数，取前6个时刻的数据加权预测下一时刻的数据
df['EMA'] = df['Global_active_power'].ewm(span=6,min_periods=6).mean()
rolling_mean = df['EMA']# 查看真实数据的维度和预测数据的维度
print("real Shape-- ",real.shape)#(1442,)
print("rolling_mean Shape-- ",rolling_mean.shape)#(1442,)

预测结果可视化

# 取最后258个时刻的数据绘图
plt.plot(real[-260:-2], color = 'red', label = 'Real')
plt.plot(rolling_mean[-260:-2], color = 'blue', label = 'Predicted')
plt.xlabel('Time')
plt.legend()
plt.show()

计算误差

real = real[-260:-2]
pred = rolling_mean[-260:-2]from sklearn.metrics import mean_absolute_error
from sklearn.metrics import mean_squared_error
# 计算误差
mae = mean_absolute_error(pred,real)
mse = mean_squared_error(pred,real)
print("MAE:",mae) # MAE: 178.27270483176076
print("MSE:",mse) # MSE: 62814.68751826136

SMA：权重系数一致；

WMA：权重系数随时间间隔线性递减；

EMA：权重系数随时间间隔指数递减。

参考文献:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/430537478

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SMA案例代码

加权移动平均（Weighted Moving Average，WMA）

WMA案例代码

指数移动平均（Exponential Moving Average，EMA）

EMA案例代码

SMA：权重系数一致；

WMA：权重系数随时间间隔线性递减；

EMA：权重系数随时间间隔指数递减。

参考文献:

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