各类曲线的参数方程_常见曲线的参数方程
前言
总结梳理常见曲线的参数方程;其中抛物线和双曲线的参数方程不要求掌握;
参数方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线\(C\)上任意一点\(P\)的坐标\(x\)、\(y\)都是某个变数\(t\)的函数:
\[\left\{\begin{array}{l}{x=f(t)}\\{y=g(t)}\end{array}\right.
\]
并且对于\(t\)的每一个允许的取值,由方程组确定的点\((x, y)\)都在这条曲线\(C\)上,那么这个方程就叫做曲线的参数方程,联系变数\(x\)、\(y\)的变数\(t\)叫做参变数,简称参数。相对而言,直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。
例如在运动学,参数通常是“时间”,而方程的结果是速度、位置等。用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线[例如摆线],建立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,有了参数方程,就可以很容易表达。
直线参数方程
直线的参数方程的形式不唯一,当选定的参数不一样时,参数方程的形式也就不一样了。
[方式1]:已知直线所过的定点\((x_0,y_0)\)和倾斜角\(\theta\),则以定点到动点\((x,y)\)的有向线段的位移为参数,可知
直线的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_0+cos\theta\cdot t}\\{y=y_0+sin\theta\cdot t}\end{array}\right.\)
[方式2]:以定比分点为参数
[方式3]:以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数,
以坐标原点\(O\)为极点,\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho=4cos\theta\),曲线\(M\)的直角坐标方程为\(x-2y+2=0(x>0)\),以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数,写出曲线\(M\)的参数方程;
分析:由\(\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0(x>0)①}\\{y=kx②}\end{array}\right.\)
解方程,消去\(y\),解得\(x=\cfrac{2}{2k-1}\),代入②得到,\(y=\cfrac{2k}{2k-1}\),由\(x=\cfrac{2}{2k-1}>0\),得到\(k>\cfrac{1}{2}\)
故曲线\(M\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{2}{2k-1}}\\{y=\cfrac{2k}{2k-1}}\end{array}\right.\) (\(k\)为参数,\(k>\cfrac{1}{2}\))
圆参数方程
圆\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cos\theta}\\{y=2+2sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)
椭圆参数方程
椭圆\(\cfrac{x^2}{4^2}+\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4cos\theta}\\{y=3sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)
抛物线参数方程
抛物线\(y^2=4x\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4t^2}\\{y=4t}\end{array}\right.\quad\) (\(t\)为参数)
双曲线参数方程
双曲线\(\cfrac{x^2}{4^2}-\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4sec\theta}\\{y=3tan\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)
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