python雪花曲线实验报告_探究“雪花”曲线
张志勇
美丽的分形是大自然景物的抽象,它无比丰富的细节、绚丽多彩的结构常令我们流连忘返,图1中的科赫(Koch)雪花曲线等给我们以美的遐想.分形在多个领域有着广泛的应用,如物理中的湍流、化学中的高分子链、天文学中的星团分布、地理学中的河流与水系、生物学中的全息现象……
下面我们要探究的是美丽的分形背后的数学身影.
首先,我们来了解一点分形的科普小知识.提及分形,首先要涉及的是其自相似性,所谓自相似性即是指局部是整体成比例缩小的性质.通俗一点,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的.由此,你能想象Koch雪花曲线的自相似性吗?
雪花曲线由瑞典数学家科赫于1904年构造,因为酷似雪花,所以叫“雪花曲线”.其构造规律是这样的:从图2-1所示的等边三角形开始(称为初始元),将三角形的每条边三等分,并在每条边三分后的中段向外作新的等边三角形(舍去中间的一段,保留两侧的两段,将中间的一段改成夹角为60。的两个等长的直线段,如图2—2),再细分便得到图2 - 3……不断重复这样的过程,隐去不要的部分,便可得到图1所示的雪花曲线.
从图形的构造过程不难理解雪花曲线的自相似性.其實在我们的教材必修《数学5》数列单元习题中,就有雪花曲线的构造.
雪花曲线的奥妙不仅在于它的自相似性,我们作出初始三角形的外接圆(如图3),可以发现雪花曲线永远不会超出这个圆,也就是说雪花曲线围成的面积是有限的,如果再告诉你,雪花曲线的周长却是无限长的,也就是说用一个无限长的图形围成一个有限的面积,是不是有点“难以置信”!
下面,我们用数列知识来证明这个结论,
我们设初始三角形ABC的边长为a,经过n次生长后,得到的小三角形的边长为an=
a(1/3)n,边数En=3·4n,面积为sn=a2(1/3)2n,这样n次生长后总的周长之和为Cn=
anEn=一3a(4/3)n,而所围成的面积之和sn=a2(1/9)n·[8/5·9n-3/5·4n]=
a2[8/5-3/5(4/9)n],这样生长无限次后,边长和即周长趋于无穷,而面积和则趋于定值
当然,要说明的是,这个令人惊异的结论,面积的有限性,要用到一丁点儿极限的知
识,但是我们可以这样想,在一张纸上画雪花曲线,不管生长多少次,它都不会超过一张纸
的,显然它的面积是有限的,
最后我还想告诉同学们的是,雪花曲线的神奇之处不仅如此.其身上还有很多不为人知的奥妙之处,如曲线上有许多折点,到处都是“尖端”;曲线虽然连续,但雪花曲线没有切线.
透过雪花曲线,我们可以深刻感受到:分形几何,不愧为“真正描述大自然的几何学”,它如此贴近我们的生活,不仅有外在之美,其内在深奥的数学之美更需要我们用数学的眼光去积极探索,随着我们学习的深入,或许会揭开其中更多的神秘面纱.
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