归并排序

归并排序也叫（Merge sort）。

工作原理

将给定的数组一份为二
对两部分数组再使用归并排序使其有序
最后再将两部分数组合并

时间复杂度计算

1、首先可知

f(n)=2f(n2)+nf(n)=2f(\frac{n}{2})+n \space\space\space\space\space\space\space\space\space f(n)=2f(2n)+n
其中：f(n)表示对n个数进行归并排序f(n)表示对n个数进行归并排序f(n)表示对n个数进行归并排序 2f(n2)表示将n个数分成两部分分别进行归并排序2f(\frac{n}{2})表示将n个数分成两部分分别进行归并排序2f(2n)表示将n个数分成两部分分别进行归并排序 n表示对两个子过程结束之后合并的过程n表示对两个子过程结束之后合并的过程n表示对两个子过程结束之后合并的过程
2、推导
f(n2)=2f(n4)+n2当n=n2时f(\frac{n}{2})=2f(\frac{n}{4})+\frac{n}{2} \space\space\space\space\space\space\space\space\space 当n=\frac{n}{2}时f(2n)=2f(4n)+2n         当n=2n时
f(n4)=2f(n8)+n4当n=n4时f(\frac{n}{4})=2f(\frac{n}{8})+\frac{n}{4} \space\space\space\space\space\space\space\space\space 当n=\frac{n}{4}时f(4n)=2f(8n)+4n         当n=4n时
………… \space\space\space\space\space\space\space\space\space ……
f(n2m−1)=2f(n2m)+n2m−1当n=n2m−1时f(\frac{n}{2^{m-1}})=2f(\frac{n}{2^m})+\frac{n}{2^{m-1}} \space\space\space\space\space\space\space\space\space 当n=\frac{n}{2^{m-1}}时f(2m−1n)=2f(2mn)+2m−1n         当n=2m−1n时
3、由此可得：

f(n)=2f(n2)+nf(n)=2f(\frac{n}{2})+nf(n)=2f(2n)+n
=2×(2f(n4)+n2)+n= 2\times\bigg(2f(\frac{n}{4})+\frac{n}{2}\bigg)+n=2×(2f(4n)+2n)+n
=22f(n22)+2n=2^2f(\frac{n}{2^2})+2n=22f(22n)+2n
=22×(2f(n8)+n4)+2n=2^2\times\bigg(2f(\frac{n}{8})+\frac{n}{4}\bigg)+2n=22×(2f(8n)+4n)+2n
=23f(n23)+3n=2^3f(\frac{n}{2^3})+3n=23f(23n)+3n
………………
=2mf(n2m)+mn=2^mf(\frac{n}{2^m})+mn=2mf(2mn)+mn

当 m 足够大时(仅剩一个数字时)，可使得n2m=1\frac{n}{2^m}=12mn=1
求出 m=log2nm=log_2nm=log2n

代入f(n)=2mf(n2m)+mn中可得代入 \space\space f(n)=2^mf(\frac{n}{2^m})+mn \space\space 中可得代入  f(n)=2mf(2mn)+mn  中可得
f(n)=2(log2n)f(1)+n⋅log2nf(n)=2^{(log_2n)}f(1)+n\cdot log_2n f(n)=2(log2n)f(1)+n⋅log2n
其中f(1)=0其中\space\space f(1)=0其中  f(1)=0
所以最终f(n)=n⋅log2n所以最终\space\space f(n)=n\cdot log_2n所以最终  f(n)=n⋅log2n

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