STKO助力OpenSEES系列：结构模态分析以及动力特性（MDOF与等效SDOF验证）

文/心尘轩

网站/STKO OpenSees Software (asdeasoft.net)

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一、模型案例信息

文字描述：

结构模型为6层5跨的平面框架结构（这种框架形式多见于结构抗震设计理论的学术文章），跨度为4m, 层高为3m, 约束平面外的平动自由度以防止面外变形，为简化建模过程，模型中的所有梁柱截面均采用400*400*20mm的空心箱型截面，每个节点赋予点质量10t以考虑荷载和自重，底部为固定约束可见下图。详细的建模过程可以参见相应的视频教程。

二、振型形状对比

下图给出了abaqus 和STKO 结构在第一和第二振型形状的对比，结果表明两个软件几乎一致，且呈图均具有美观欣赏性。

三、结构动力特性对比

两个软件对比的结构主要动力特性，其中包括：特征值，圆频率，模态有效质量，模态参与系数，如下系列表所示。根据对比结果可知，两个软件分析的结果几乎一致。由有效模态质量表格可知，第一阶有效模态占总质量为83%，所以对于这样的6层结构，我们可以说他的结构动力行为由其一阶模态控制，如果考虑高阶模态影响，则前两阶模态足以较精确地表达结构的动力响应。

四、欧拉梁和铁木辛柯梁对模态分析的影响

第四点是一个细节问题，总有同学问我，为什么Abaqus 和OpenSEES 做出来的结果对不上。实际上，是我们并没有考究我们的单元选择。在Abaqus 中，若不做特殊设置，默认的梁单元是考虑剪切变形的铁木辛柯梁，而在OpenSEES中默认的elastic beam column 是欧拉梁。欧拉梁因为不考虑剪切变形则会使得结构稍稍偏刚，这一点可以从下表的对比可以看出，欧拉梁的模型的特征值和圆频率均大于铁木辛柯梁。因而在这一节，一并回复询问者，做模型一定要细心，每一个参数的设置都会导致结构的悬殊。所以在Abaqus请明确使用的是B31 还是B33，在OpenSEES中可以使用section aggregator 进行添加剪切刚度以考虑剪切变形，总之模型需要保持一致性。

五、几何模型导入的快速建模

第五点内容，可参见文首视频教程，在这里不再赘述。

六、MDOF 和SDOF 等效合理性的验证

结构多自由度等效为单自由度的理论是进行结构抗震设计的一个重要内容。通过动力学的知识，我们可知，结构在弹性状态下，模态之间是正交互不影响的，于是通过对多自由度体系的推导如下：

我们可以得出以下结论：地震输入给结构的总能量等于各个模态等效单自由度体系相应能量的之和。因而，我们可以将复杂的MDOF 问题转化为具有相应有效模态质量的单自由度问题。以双自由度系统而言，如下图：

这个双自由度系统的地震响应就等效为为两个分别具有有效模态质量的单自由度体系的叠加，也就是振型时程分析的原理。

在这里我们探讨一个有趣的问题，我们能否通过对结构的模态分析就可以根据此结构的动力特性求得结构在相应振型荷载分布下的结构初始刚度，这从原理上是可以实现的。通过模态分析，可以得出结构的有效模态质量和结构的模态圆频率，也就求出结构在相应的模态下的刚度。那我们就尝试下吧，对象为结构一阶模态下的结构刚度。操作如下：

首先提取结构一阶模态对应的振型，按照此振型分布模型对结构施加水平分布力，并进行模态推覆分析，如下图所示。

结构一阶模态推覆得到的等效单自由度的刚度和通过模态分析得到的刚度计算如下图。两者高度吻合，说明从刚度而言，MDOF 和相应模态等效的SDOF 理论是合理的。实际上，我们这节开头也推导了MDOF和相应模态等效的SDOF 从能量角度理论也是精确的。这些视角的分析和验证可以帮助我们进一步深入理解动力学的相关知识。

七、MDOF 和SDOF 等效在弹塑性状态的延申

实际上这个问题到目前为止依然没有被解决，结构一旦进入弹塑性后，结构的各阶振型是耦联的，并不再维持弹性状态下的正交关系。因此在弹性状态下的MDOF等效为相应SDOF能否继续延申至结构的弹塑性状态，是一个值得思考的问题。前辈们也付出较多的努力和探索。直到一个知名的权威专家出来说明：我们承认结构在进入弹塑性状态后结构各个振型存在耦联，也即某一个振型会对另一个振型产生影响，但我们可以假定如果我们继续按照结构弹性状态下振型理论去计算结构弹塑性的反应响应，如果得到的结构响应和结构实际的响应相比，精度满足工程需求，那么，我们就有理由相信，即使结构进入弹塑性状态，振型之间存在耦联，但这种耦联是比较弱的，忽略它并沿用结构弹性状态下的振型理论得到的结构响应是足以精确的描述结构的行为。正是在这样的指导思想下，结构的设计理论进一步得到了发展，比如MPA，以及随后的基于塑性的设计理论，也包括时下基于概率的结构性能设计理论的等等，而提出这样的假定的人就是知名结构学家乔普拉。也非常推荐大家阅读乔普拉关于结构动力学的专著，该专著中文版由谢礼立院士主持翻译。《DYNAMICS OF STRUCTURES Theory and Applications to Earthquake Engineering》。

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