结构动力学中的预应力模态分析 —

弦振动

先来看一个众所周知且和预应力模态有一定关联的例子——弦振动。

一根绳子在自然状态下是没有刚度的，可以被折叠成任意形状，在不施加外力的情况下无法恢复到初始状态。

拨动没张紧的吉他琴弦时，吉他无法发出声音，因为琴弦没有抵抗横向变形的能力，即没有横向刚度，因而无法振动发声；但当琴弦绷紧后，即琴弦两端加上一定的拉力时，便有了抵抗横向变形的能力了，这个能力和拉力的大小有关，拉力越大，琴弦的“横向刚度”越大，振动的频率越高，进而就可以发声了。

预应力模态

接下来考虑轴向力作用在梁的情况。

梁自身是具备抵抗弯曲的能力的，即具有抗弯刚度，记为k0。当它受到一个恒定的轴向力F时，由于轴向和横向正交，因此，轴向力不会引起弯曲的变化，通常这样理解没有问题。

但是~~~~~~

回想一下梁的线性屈曲分析(以后会具体介绍)。我们假设梁发生了一个小的弯曲，轴力会对梁的弯曲产生影响，拉力会使梁“更容易”恢复到直线状态，而压力会使梁恢复到直线状态变得“更困难”。

这好像轴力给梁的弯曲方向增加或减少了一个刚度kg，我们把这个刚度叫做“几何刚度”，它表示结构在轴向载荷作用下引起的屈曲趋势，依赖于结构的形式和载荷条件。此时，梁的抗弯刚度修改为了k=k0-kg。

当梁受到拉力时，结构刚度增加，固有频率上升；当梁受到压力时，结构刚度下降，固有频率下降。

同样的，对于受到薄膜力的薄壳也会有类似现象，在分析模态时需要考虑预应力的效应。

需要指出的是，这种预应力(pstress)的效果和几何非线性分析中的“应力刚化”(stress stiffeness)是相同的来源。

以上阐述就是预应力模态产生的基本原理，读者可以思考一下：模态分析在什么情况下需要考虑预应力的效应。

算例

考虑一根简支梁，两边施加拉力和压力(通过初始应变实现)，进行预应力模态分析，对比二者和无载荷作用时的模态分析结果。

无预应力模态分析的结果：

拉预应力模态分析的结果：

压预应力模态分析的结果：

对比无预应力模态、拉预应力模态、压预应力模态三者的固有频率结果发现：前6阶模态，相比于无预应力工况，拉预应力工况的频率有所提高，因为拉力载荷使梁的横向刚度提高了；而压预应力工况的频率有所降低，因为压力载荷使梁的横向刚度降低了。

前文对预应模态分析产生的原理进行了较详细的介绍，对拉/压预应力模态进行了分析，并和无预应力模态分析结果进行了对比。

现以ANSYS为例，结合前文介绍的理论和要点，实现具体分析。在“基于ANSYS的响应谱分析”一文中介绍了APDL和Workbench的特点，在此，本文以APDL为例，同时兼顾Workbench，介绍ANSYS如何实现结构动力学中的预应力模态分析。

预应力模态分析

对于薄壁结构，如细长梁和薄板，由于弯曲刚度比轴向拉压刚度小很多，当结构受外载作用时，由于应力刚化(SSTIF)效应，在进行模态分析时，一般需要考虑预应力效应的影响，即进行预应力模态分析。预应力模态分析需要分为两次求解实现，首先进行静力分析，其目的是求解应力刚度矩阵(为常值)，然后在此基础之上进行模态分析。

在预应力模态分析时需要注意以下两点：

静力求解时，必须打开预应力开关(PSTRES,ON)，设置使用一致质量矩阵还是集中质量矩阵(LUMPM,ON/OFF)
模态分析时，同样必须打开预应力开关(PSTRES,ON)，且质量矩阵的使用形式必须和静力分析时保持一致

注：如果模型中出现非线性单元，那么在模态分析时程序会强制线性化，如接触单元，程序会根据初始(即静力分析结束后的状态)几何状态计算刚度并在后续计算中保持不变。

分析过程

典型命令

INISTATE, Action, Val1, Val2, Val3, Val4, Val5, Val6, Val7, Val8, Val9——定义初始状态参数

INISTATE, SET, Val1, Val2

INISTATE, DEFINE, ID, Eint, Klayer, Parmint, Cxx, Cyy, Czz, Cxy, Cyz, Cxz

其余命令

注：在ANSYS的早期版本中，如Link、Beam单元等加初始应力应变的方法可以直接给实常数；但在后期高版本中，改为通过INISTATE命令添加；添加初始应力应变的方法还可以利用“热胀冷缩”效应，通过温度载荷实现

Workbench设置(参数仅作示意)

注：在Workbench中实现预应力模态分析，应使模态分析模块继承静力分析模块的模型和结果部分。

算例

考虑一个扇叶结构，以一定的角速度匀速旋转时，由于惯性力作用，结构刚度会有所提高，现对其进行模态分析和预应力模态分析。

有无预应力模态分析的前6阶结果对比如下：

对比结果看出：→模态应力、频响应力和PSD应力由于扇叶旋转，产生惯性力(拉力)，提高了结构的刚度，进而提高了模态频率。旋转减速度越高，刚度提高越多，模态频率就提高得越多。

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