矩阵分解

矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等。

Cholesky分解法是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。

程序

可采用如下命令:
R=chol(A)：产生一个上三角阵R，使R’R=A。若A为非对称正定，则输出一个出错信息。

[R,p]=chol(A)：这个命令格式将不输出出错信息。当A为对称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相同；否则p为一个正整数。如果A为满秩矩阵，则A为一个阶数为q=p-1的上三角阵，且满足R’R=X(1:q,1:q)。

Cholesky分解后，线性方程组Ax=b变成R‘Rx=b，所以x=R(R’b)。

也可采用如下程序：
function [X]=Decomchol(A,b)
[N,N]=size(A);
X=zeros(N,1);
Y=zeros(N,1);
for i=1:N
A(i,i)=sqrt(A(i,i)-A(i,1:i-1)*A(i,1:i-1)’);
if A(i,i)==0
‘A is singular. no unique solution’
break;
end;
for j=i+1:N
A(j,i)=(A(j,i)-A(j,1:i-1)*A(i,1:i-1)’)/A(i,i);
end

A
b
前代法
for j=1:N
Y(j)=(b(j)-A(j,1:j-1)*Y(1:j-1))/A(j,j);
end
Y;
A=A’
for k=N: -1 :1
X(k)=(Y(k)-A(k,k+1:N)*X(k+1:N))/A(k,k);
end

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