AcWing 168 生日蛋糕【DFS 剪枝 ☆】

题目描述：

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。

设从下往上数第i层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。

当i < M时，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。

由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。

令Q = Sπ ，请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。

除Q外，以上所有数据皆为正整数。

输入格式

输入包含两行，第一行为整数N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ。

第二行为整数M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。

输出格式

输出仅一行，是一个正整数S（若无解则S = 0）。

数据范围

1≤N≤10000,
1≤M≤20

输入样例：

100
2

输出样例：

分析：又是一个究极经典剪枝题
将自上而下的各层蛋糕编号为1-m，题目要求我们设计一个m层蛋糕，下层的蛋糕比上层的蛋糕半径和高度都要大，并且总的体积为n，求最小的表面积。设第i层蛋糕的半径是Ri，高度是Hi，半径和高度都是整数。有Ri < Ri+1,Hi < Hi+1，根据题目要求，我们下面先忽略体积和表面积公式中的π。由于最上层的蛋糕半径和高度都要是正整数，所以R1和H1至少是1，R2要大于R1，至少是2，由此可得，第i层蛋糕的半径和高度至少是i。蛋糕体积公式为sum(RiRiHi)，表面积公式为RmRm + sum(2RiHi)，也就是最下层蛋糕的底面积加上各层蛋糕的侧面积。
考虑剪枝：搜索顺序：自底向上搜，并且先枚举R再枚举H，因为体积为N，如果能够更快的逼近N，那么分支数就会少，所以根据体积公式RRH，可知R对于体积的变化率更大。同理也要自底向上搜。
1、考虑一下每一层R和H的枚举范围，因为R和H都是正整数，并且层数已知为M，所以第一层R和H至少为1，即第u层R和H至少为u，此为下限。由题意R和H从下往上是严格单调递减的，所以R和H要小于等于Ru+1和Hu+1，并且假设第m层到第u层已经递归搜索到的体积为V，根据N - V >= Ru * Ru * H，H最小为1，则 Ru 也要 <= sqrt(N - V) 。同理可得 H 要 <= （ N - V) / Ru / Ru。
2、最优性和可行性剪枝，设mins[i]表示1到i层表面积的最小值，minv[i]表示1到i层体积的最小值，则mins[i] = mins[i-1] + 2* i * i，因为第i层高度和半径都至少是i，minv[i] = minv[i-1] + i * i * i，第m层到u层的体积V，面积S 。需要满足 minv[u] + v <= M ， mins[u] + s < ans。
**3、*最难想的一个最优性剪枝，考虑下从第1层到第k层的体积和表面积的表达式，S = sum(2RiHi)，V = sum(RiRiHi)，则S = sum(2RiHiRk+1 / Rk+1) > 1 / Rk+1 * sum(2RiRiHi ) = 2 / Rk+1 * sum(RiRiHi) = 2V / Rk+1，sum表示i从1到k求和。从第m层到第u层已有的表面积是s，从第1层到第u层的表面积一定超过2V/Ru+1，从第1层到第u层剩下的体积是n - v，所以当s + 2（n-v）/ Ru+1 >= ans时,s + S > ans，一定不是最优解，所以可以剪枝。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>using namespace std;const int M = 25 , INF = 1e9;
int n , m ;
int minv[M] , mins[M];
int ans = INF;void dfs(int u , int v , int s , int lastr , int lasth){if( u == 0 ){if( v == n ) ans = min( ans , s);return ;}if( v + minv[u] > n) return ;if( s + mins[u] >= ans ) return ;if( s + 2 * (n-v) / lastr >= ans ) return ;for(int r = min( (int)sqrt(n-v) , lastr - 1 ) ; r >= u ; r --){for(int h = min( (n-v) / r / r , lasth - 1) ; h >= u ; h -- ){int t = 0 ;if( u == m ) t = r * r ;dfs(u - 1 , v + r * r * h , s + 2 * r * h + t , r , h);}}
}//从下往上搜，并且先搜r再搜h
int main(){cin >> n >> m;for(int i = 1 ; i <= m ; i ++){minv[i] = minv[i-1] + i * i * i;mins[i] = mins[i-1] + 2 * i * i;}dfs(m,0,0,INF,INF);if(ans == INF ) ans = 0;cout << ans <<endl;
}

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