Python-树Tree
- 树
- 树的概念
- 树的特点
- 二叉树
- 二叉树的五种基本形态
- 斜树
- 满二叉树
- 完全二叉树Complete Binary Tree
- 二叉树性质
- 性质1
- 性质2
- 性质3
- 其他性质
- 性质4
- 性质5
树
- 非线性结构
- 树是n(n≥0)个元素的集合
n = 0时,称为空树
树自由一个特殊的没有前驱的元素,称为树的根Root
树中除了根节点外,其余所有元素只能有一个前驱,可以有零个或多个后继 - 递归定义
树T是n(n≥0)个元素的集合,n = 0时,称为孔数
有且自由一个特殊元素根,剩余元素都可以被划分为m个互不相交的集合T1、T2、T3、…、Tm,而每一个集合都是树,称为T的子树Subtree
子树也有自己的根
树的概念
- 结点:树中的数据元素
- 结点的度degree:结点拥有的子树的数目称为度,记作d(v)
- 叶子结点:结点的度为0,称为叶子结点leaf、终端结点、末端节点
- 分支结点:结点的度不为0,称为非终端结点或分支结点
- 分支:结点之间的关系
- 内部结点:除根结点外的分支结点,当然也不包括叶子特点
- 树的度是树内各结点的度的最大值。D结点度最大为3,树的度数就是3
- 孩子(儿子Child)结点:结点的子树的根结点成为该结点的孩子
- 双亲(父Parent)结点:一个结点是它各子树的根结点的双亲
- 兄弟(Sibling)结点:具有相同双亲结点的结点
- 祖先结点:从根结点到该结点所经分支上所有的结点。A、B、D
都是G的祖先结点 - 子孙结点:结点的所有子树上的结点都称为该结点的子孙。B的
子孙是D、G、H、I - 结点的层次(Level):根节点为第一层,根的孩子为第二层,以
此类推,记作L(v) - 树的深度(高度Depth):树的层次的最大值。上图的树深度为4
- 堂兄弟:双亲在同一层的结点
- 有序树:结点的子树是有顺序的(兄弟有大小,有先后次序),
不能交换。 - 无序树:结点的子树是有无序的,可以交换。
- 路径:树中的k个结点n1、n2、…、nk,满足ni是n(i+1)的双
亲,称为n1到nk的一条路径。就是一条线串下来的,前一个
都是后一个的父(前驱)结点。 - 路径长度=路径上结点数-1,也是分支数
- 森林:m(m≥0)棵不相交的树的集合
- 对于结点而言,其子树的集合就是森林。A结点的2棵子
树的集合就是森林
树的特点
- 唯一的根
- 子树不相交
- 除了根以外,每个元素只能有一个前驱,可以有零个或多个后继
- 根结点没有双亲结点(前驱),叶子结点没有孩子结点(后继)
- vi是vj的双亲,则L(vi) = L(vj)-1,也就是说双亲比孩子结点的层次小1
- 堂兄弟的双亲是兄弟关系吗?
堂兄弟定义是,双亲结点是同一层的节点
下图G和J是堂兄弟,因为它们的双亲结点D和E在第三层,
依然是堂兄弟
因此,堂兄弟的双亲不一定是兄弟关系
二叉树
- 每个结点最多2棵子树
二叉树不存在度数大于2的结点 - 它是有序树,左子树、右子树是顺序的,不能交换次序
- 即使某个结点只有一棵子树,也要确定它是左子树还是右子树
二叉树的五种基本形态
- 空二叉树
- 只有一个根结点
- 根结点只有左子树
- 根结点只有右子树
- 根结点有左子树和右子树
斜树
- 左斜树,所有结点都只有左子树
- 右斜树,所有节点都只有右子树
满二叉树
- 一棵二叉树的所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子结点只存在在最下面一层。
- 同样深度二叉树中,满二叉树结点最多。
- k为深度(1≤k≤n),则结点总数为2^k-1
- 一个深度为4的15个结点的满二叉树
完全二叉树Complete Binary Tree
- 若二叉树的深度为k,二叉树的层数从1到k-1层的结点数都达到了最大个数,在第k层的所有结点都集中在
最左边,这就是完全二叉树 - 完全二叉树由满二叉树引出
- 满二叉树一定是完全二叉树,但完全二叉树不一定是满二叉树
- k为深度(1≤k≤n),则结点总数最大值为2^k-1,当达到最大值的时候就是满二叉树
二叉树性质
性质1
- 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i≥1)
性质2
- 深度为k的二叉树,至多有2^k-1个节点(k≥1)
- 一层2-1=1
- 二层4-1=1+2=3
- 三层8-1=1+2+4=7
性质3
- 对任何一棵二叉树T,如果其终端节点数为n0,度数为2的结点为
n2,则有n0=n2+1 - 换句话说,就是叶子结点数-1就等于度数为2的结点数。
-证明:
总结点数为n=n0+n1+n2,n1为度数为1的结点总数。
一棵树的分支数为n-1,因为除了根结点外,其余结点都有一
个分支,即n0+n1+n2-1。
分支数还等于n00+n11+n22,n2是2分支结点所以乘以2,
2n2+n1。
可得2*n2+n1=n0+n1+n2-1 => n2=n0-1
其他性质
- 高度为k的二叉树,至少有k个结点。
- 含有n(n≥1)的结点的二叉树高度至多为n。和上句一个意思
- 含有n(n≥1)的结点的二叉树的高度至多为n,最小为
math.ceil(log2 (n+1)),不小于对数值的最小整数,向上取整。 - 假设高度为h,2^h-1=n => h = log2 (n+1),层次数是取整。
如果是8个节点,3.1699就要向上取整为4,为4层
性质4
- 具有n个结点的完全二叉树的深度为int(log2n)+1或者
math.ceil(log2(n+1))
性质5
- 如果有一棵n个结点的完全二叉树(深度为性质4),结点按照层
序编号,如下图 - 如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则其双亲
是int(i/2),向下取整。就是子节点的编号整除2得到的就是父结
点的编号。父结点如果是i,那么左孩子结点就是2i,右孩子结点
就是2i+1。 - 如果2i>n,则结点i无左孩子,即结点i为叶子结点;否则其左孩
子结点存在编号为2i。 - 如果2i+1>n,则结点i无右孩子,注意这里并不能说明结点i没有
左孩子;否则右孩子结点存在编号为2i+1。
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