【数据结构】初入数据结构的树(Tree)以及Java代码实现（一）

初入数据结构的树(Tree)以及Java代码实现（一）

树的定义
- 为什么叫树？
- 树型结构的元素具有一对多关系
- 树的定义
树的一些基本概念
- 树的结点
- 后代，祖先
- 子树、空树
- 树的度与高（深度），结点的度与层次
- 有序树，无序树和森林
树的三种形式的Java代码实现

树的定义（Tree）

为什么叫树？

为什么叫树呢？因为将具有一对多关系的集合中的元素安装上图中的逻辑结构存储，整个存储形状从逻辑结构上看就像现实生活中一颗倒着生长的树，毕竟形象生动，所以这种数据结构也就被叫做树(Tree)，这种存储结构也就成为树形存储结构

树型结构的元素具有一对多关系

我们之前了解的链表，数组，栈，队列都是一些线性存储的结构，数据关系也是简单的一对一关系，因为线性表中的每个数据元素都最多只有一个前驱和后继元素，不可能再多了，即线性表的某个节点的下一个元素，只有一种选择。

我们这里讲的树，则是一个非线性的存储结构，存储的是一对多关系的数据元素集合，为什么说是一对多呢？如上图，对于数节点A 来说，和节点 B、C有关系；对于节点 B 来说，和 A、D、E 有关系。换成线性表的概念来说，就是这个结点B有一个前驱节点A，还有两个后继节点D,E。即某个结点至多有一个前驱节点，但可能有多个后继节点，一个结点可能有对应多个后继节点，这就是树“一对多”的关系。

或者说如此解释，上图是用集合嵌套的方式表示一棵树，你看A可以囊括B,C两个数据，B可以囊括D,E两个数据，所以我们说树的数据是一对多的，对应的意义就是一个结点是可以有多个子结点的，不像线性表，它的下一个元素只有一种选择，树可能是有多种选择的

联想下图的多对多
对此我们再联想一下，为什么图的数据是多对多的？如果强行把图看做一颗树，那么这棵树的子树是可以相交的；即某棵树的结点A的下个元素可以是结点B或结点C，结点D下个元素可以是接点E或结点C，这里我们会发现不同的结点，他们的下个元素可以是同一结点C，此时该树就不能再叫树了，应该叫图。多对多的意思就是，同一个结点，可能有多个上一元素，也可以有多个下一元素，即从不同的结点出发，可以到达同一个结点，从同一结点出发，又可以到达不同的结点，这就是图的数据元素关系是多对多

树的定义

我们知道数据结构中的树，是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树, 那它的具体定义是什么呢？

百度百科的定义：

树（tree）是包含n（n>=0）个结点的有穷集，其中：

每个元素称为结点（node）；

有一个特定的结点被称为根结点或树根（root）。

除根结点之外的其余数据元素被分为m（m≥0）个互不相交的集合T1，T2，……Tm-1，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）本身也是一棵树，被称作原树的子树（subtree）

简单的说就是，一颗树由根结点和m(m>=0)棵子树构成，或者说由n(n>=0)个结点构成一颗树
如果某棵树没有结点，即n = 0 ，那这就是一颗空树；即使只有一个结点，没有子树，依然可以构成一颗树,即n = 1,m = 0

树的种类

在基础树的前提下，再增加一些规则，就形成了各式各样的树形存储结构，如上图就是树的各种变种和种类

树的一些基本概念

树的结点

结点
使用树形存储结构的每一个数据元素都被称为结点,不过在线性表中一般叫节点，所以别混了哟
根结点
每一个非空树都有一个，也至少一个称为根的结点，它就是根结点，是树形结构的起点；如果某棵树的结点没有父结点，那么该结点就一定是根结点，所以整棵树，只有根结点没有父结点
父结点(双亲节点)
树型结构的某个数据元素（结点）如果有后继节点，那么这个结点就是这些后继节点的父结点，或叫双亲结点
子结点
树型结构的某个数据元素（结点）如果有前驱节点，那么这个结点就是这个前驱节点的子结点
兄弟结点
树形结构中的某些数据元素（结点）如果具有通一个父结点，那么他们之间的关系就是兄弟结点
叶子结点(叶结点)
树形结构中的某个结点，如果么有任何的子结点，那么该结点就被称为叶子结点（叶结点）
分支结点
树形结构中不是根结点，也不是叶子结点的剩余结点都是分支结点，即至少有一个子结点的非根结点就是分支结点

从上图的树形存储结构来看，A,B,C,D,E,F,G,H元素都是树的结点，A是整棵树的根结点，A还是B,C的父结点（双亲结点），B,C则是A的子结点，B,C之间因为具有相同的父结点A，所以它们是兄弟结点关系; 而D,E,F,H则是这棵树的叶子节点, 因为这些结点没有子结点

注意：
但要注意的是，隔代不算父结点和子结点，即A不是D,E的父结点，D,E也不是A的子结点

后代，祖先

后代(Descendant)
就是从某个结点A开始，向下遍历所有可达的结点，这些可达的结点都是这个结点A的后代
祖先(Ancestor)
就是从某个结点A开始，向上遍历所有可达的结点，这些可达的结点就是这个结点A的祖先

如上面图的展示，B,C,D,E,F,G,H这些结点都是根结点A的后代，F,G,H也是结点C的后代；反之结点A就是这棵树所有结点的祖先，结点C是F,G,H结点的祖先

子树、空树

什么是子树？

子树的定义

以某棵树(1)的根结点（a)的子结点(b,c...)作为根结点的树就是这棵树(1)的子树

树的定义

除根结点之外的其余数据元素被分为m（m≥0）个互不相交的集合T1，T2，……Tm-1，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）本身也是一棵树，被称作原树的子树（subtree）

我们从树的定义中知道，每棵树都是由根节点以及m（m>=0）个互不相交的子树构成的；所以我们从下图中知道，树一如果是一个棵树，那么这棵树就是由根结点A和两颗子树(树二，树三)构成； 小技巧就是，要想知道一颗树拥有多少颗子树，就看该树根结点有多少个子结点就可以了，两者意思是查不多的

注意:
但是这里还是会有混淆人的地方，那就是G->H这棵树，算是树一的子树吗？答案就是不算，它算是树三的子树，但是不算树一的子树，我们可以重新回顾子树的定义，子树必须是某棵树根结点的子结点为根结点构成的树（的确很绕，慢慢理解就行）

什么是空树？

如果集合本身为空，即没有任何数据元素，即没有任何结点，那么我们就可以称这是一颗空树。也许你会疑惑，没有结点也能叫树？当然可以，我们回顾树的定义，树是有n(n>=0)个结点构成的，即n是可以等于0的奥，意思就是一颗树可以没有任何结点，我们称这种特殊的情况为空树

树的度与高（深度），结点的度与层次

树的度
一棵树中，找到树中结点度的最大的那个结点，这个结点的度就是树的度，即树中各结点度的最大值称为该树的度
树的高（深度）
该树的结点能到的最大层次就是该树的高，也即深度
结点的度
一个结点拥有的子树的个数称为该节点的度
结点的层次
从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推

看上图，即根结点A的度是2；分支结点B的度也是2；分支结点G的度是1；叶子结点H的度是0。因为该树所有结点中，度最大就是2，所以该树的度是2，

A根结点是第一层，结点B,C是第二层，结点D,E,F,G是第三层，结点H是第四层；因为该树的结点能到达的最大层次就是4，所以该树高为4，即深度为4

有序树，无序树和森林

有序树和无序树
如果树中每个结点的子树从左到右看，谁在左边，谁在右边，是有规定的，那么这棵树就是有序树，反之则称为无序树；在有序树中，一个结点最左边的子树称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子
森林
由m（m >= 0）个互不相交的树组成的集合被称为森林；我们知道树可以理解为是由根结点和若干子树构成的，而这若干子树本身是一个森林，所以，树还可以理解为是由根结点和森林组成的; 所以树有一个式子可以表示：Tree = (root , F), root 即树的根节点，F表示由m(m>=0)棵树组成的森林

从上图，我们可以看到有两个树，他们长的样子是一样的，但是有树一是无序树，树二是有序树。

为什么树二是有序树呢？ 首先回忆有序树的定义，从树的每一个结点的子树来看，子树在左还是在右是有规定的。我们再来看看树二，比如根结点A的两颗子树，我们会发现右子树的数据值肯定比左子树的值要大，再看结点B，同样，右子树的值肯定比左子树的值要大，其他结点也同样，所以我们才会说树二是一颗有序树。

那么树一为什么是无序树呢？ 我们来看看，根结点A的右子树的数据值不一定左子树大奥，有想等的情况，比如结点D和结点H，你可能会说，我们的规则是大于等于。好，我们再看看, 结点B的右子树的数据值居然比左子树的值小奥，同理，结点C也存在同样的情况，所以我们会发现很难从树一中找出一个排列规律，所以我们可以认为它是一颗无序树

注意：
当然有些有序树的规则是非常复杂的，有时候这些规则并不是能马上看出来的，如规定第二层的结点右子树值要大于左子树，第三层的结点，左子树要大于右子树，第四层开始，右子树大于左子树，第五层…当然这个情况还是偏简单，还有更多复杂的规则就等你自己去探索啦

从上图，我们可以看到树一是一颗树，树一的子树就是树二和树三，树二和树三可以构成一个树集合，这个集合我们就称为森林; 所以树一就是由根结点A和这个森林构成的树

树的Java代码实现

请看 >>> 初入数据结构的树(Tree)以及Java代码实现（二）

参考资料

数据结构中的树存储结构 - @作者：解学武
数据结构与算法–树的三种存储结构 - @作者：sunhaiy
数据结构中各种树 - @作者：Poll
Data Structure and Algorithms - Tree - @作者：tutorialspoint
Tree (data structure) - @作者：wikipedia