割补法求阴影部分的面积

其实这是一节小学数学课。

割补法：拆东墙（割），补西墙（补），也即割补法需要两个动作，分别是割与补。

我们首先来看一个直观的应用割补法的例子：

右侧的四分之一圆挪到左侧，补上空白部分，这里的挪和补即暗含割补法的思想。

通过割补或者叫分裂合并，实现对不好计算的面积转换为容易计算的面积，比如讲曲线围绕出来的面积（当然可用微积分的方法加以计算，不在本文的考虑范围之内），转换位三角形或者梯形等常规图形。

割补法入门版

如图1， △ABC \triangle ABC和 △ADE \triangle ADE是等腰直角三角,形， BC BC长为8cm， DE DE长为4cm，求阴影部分的面积，自然直观的做法是分别计算 △ABC \triangle ABC和 △ADE \triangle ADE两三角形的面积，然后相减，这中间还包含一个求两三角形的直角边的中间过程。

S阴影===S△ABC−SΔADE12(8⋅12√)2−12(4⋅12√)216−4=12

\begin{split} S_{阴影}=&S_{\triangle ABC}-S_{\Delta ADE}\\=&\frac12(8\cdot\frac1{\sqrt 2})^2-\frac12(4\cdot\frac1{\sqrt 2})^2\\ =&16-4=12 \end{split}
割补法的思路是怎样的呢？或者我再问如果仅知道矩形的面积公式，而不事先告知三角形的面积计算公式（大家回忆下，我们是从几年级开始知道三角形的面积计算公式，是先有的三角形的面积公式还是先有的矩形的面积公式的呢，这个问题可能价值不大，可是如果我再问，我们什么时候知道0并接受0，什么时候接受负数的概念，要知道阿拉伯数字并不包含0,0是印度文明的贡献）。

其实从梯形的角度也可计算（只不过仍存在计算高这一中间过程）：

S阴影=(DE+BC)⋅h2=(4+8)⋅22=12

S_{阴影}=\frac{(DE+BC)\cdot h}2=\frac{(4+8)\cdot 2} {2}=12

思路是将一个不太好算的面积分割为一个个独立的易于计算的面积块，如图将阴影部分分割为两个等腰直角和一个矩形，也即：

S阴影===S△EFC+S△BGD+S□DEFG2⋅122×2+2×412

\begin{split} S_{阴影}=&S_{\triangle EFC}+S_{\triangle BGD}+S_{\square DEFG}\\ =&2\cdot \frac122\times 2+2\times 4\\ =&12 \end{split}

补：补齐，凑整

S阴影==S□CGFB−S□EIHD482−424=12

\begin{split} S_{阴影}=&\frac{S_{\square CGFB}-S_{\square EIHD}}{4}\\ =&\frac{8^2-4^2}{4}=12 \end{split}

常见割补法的应用

考虑计算下图阴影部分的面积：

利用割补法的思想：

同理：

利用割补法的思想：

再来看一道：

（看到下面一页影影绰绰的”小学”二字没）