高中数学题型整理（高一年级）

1 曲线过一个定点

【题1】已知函数 g ( x ) = ( a + 1 ) x − 2 + 1 ( a > 0 ) g(x) = (a+1)^{x-2} + 1 (a > 0) g(x)=(a+1)x−2+1(a>0)的图像恒过定点A，且点A又在函数 f ( x ) = log ⁡ 3 ( x + a ) f(x) = \log_{\sqrt{3}}{(x + a)} f(x)=log3 (x+a)，求不等式 g ( x ) > 3 g(x) > 3 g(x)>3的解集。
【分析及解答】：
（1）这个题最关键的是在于一个“恒”字，也就是说，无论 a > 0 a > 0 a>0如何变化，都要经过的点。
利用指数运算的规则，可以知道，只有满足如下条件：
x − 2 = 0 x - 2 = 0 x−2=0
才能保证无论 a a a如何变化， g ( x ) g(x) g(x)为一个固定值，所以利用这个条件，可以求得A点为 ( 2 , 2 ) (2,2) (2,2)。
（2）利用第二个条件，将A点代入 f ( x ) f(x) f(x)得到：
f ( 2 ) = log ⁡ 3 ( 2 + a ) = 2 f(2) = \log_{\sqrt{3}}{(2 + a)} = 2 f(2)=log3 (2+a)=2
可以得到 a = 1 a = 1 a=1。
（3）将 a = 1 a = 1 a=1代入 g ( x ) g(x) g(x)，再利用第三个条件，得到
( 2 ) x − 2 + 1 > 3 (2)^{x-2} + 1 > 3 (2)x−2+1>3
可以求解得到 x > 3 x > 3 x>3。

考点分析：一是如何理解“恒过”，二是指数运算规则。

2 求取值范围

【题1】设函数 y = m x 2 − m x − 1 y = mx^2 - mx -1 y=mx2−mx−1
(1) 若对任意 x ∈ R x \in \mathbb{R} x∈R，使得 y < 0 y < 0 y<0成立，求实数 m m m的取值范围；
(2) 若对于任意 x ∈ [ 1 , 3 ] x \in [1, 3] x∈[1,3]， y < − m + 5 y < -m +5 y<−m+5恒成立，求实数 m m m的取值范围。
【分析及解答】：
（1） m m m的值决定了是否是二次曲线。
分情况讨论：
第一种情况： m = 0 m = 0 m=0，则函数不是二次曲线，代入得到 y = − 1 < 0 y = -1 < 0 y=−1<0成立；
第二种情况： m ≠ 0 m \neq 0 m=0，则函数是二次曲线，现在就要判断函数是否有最大值。
如果 m > 0 m > 0 m>0，函数是一个凹曲线，有最小值，没有最大值，不满足条件；
如果 m < 0 m < 0 m<0，函数是一个凸曲线，有最大值，满足条件，现在就看函数 m x 2 − m x − 1 = 0 mx^2 - mx -1 = 0 mx2−mx−1=0是否交于 x x x轴，如果不交于 x x x轴，即函数最大值在 y = 0 y = 0 y=0的下面，有如下结论：

{ m < 0 Δ = b 2 − 4 a c = m 2 − 4 m ( − 1 ) = m 2 + 4 m < 0 ( 此时 m x 2 − m x − 1 = 0 无实数解 ) \left\{\begin{array}{l} m<0 \\ \Delta=b^2 - 4ac = m^{2} - 4 m(-1) = m^2 + 4m <0 (此时mx^2 - mx -1 = 0无实数解) \end{array}\right. {m<0Δ=b2−4ac=m2−4m(−1)=m2+4m<0(此时mx2−mx−1=0无实数解)
得到
{ m < 0 m > − 4 \left\{\begin{array}{l} m<0 \\ m > -4 \end{array}\right. {m<0m>−4
综上得： m ∈ ( − 4 , 0 ] m \in (-4, 0] m∈(−4,0]。
（2）根据 y < − m + 5 y < -m +5 y<−m+5代入整理后得到
m x 2 − m x + m − 6 < 0 mx^2 - mx +m - 6< 0 mx2−mx+m−6<0
即：
m ( x 2 − x + 1 ) < 6 m(x^2 - x + 1) < 6 m(x2−x+1)<6
因为
g ( x ) = ( x 2 − x + 1 ) = ( x − 1 2 ) 2 + 3 4 > 0 g(x) = (x^2 - x + 1) = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0 g(x)=(x2−x+1)=(x−21)2+43>0
g ( x ) g(x) g(x)在 x ∈ [ 1 , 3 ] x \in [1, 3] x∈[1,3]是单调递增函数，即 min ⁡ g ( x ) = g ( 1 ) = 1 , max ⁡ g ( x ) = g ( 3 ) = 7 \min g(x) = g(1) = 1, \max g(x) = g(3) = 7 ming(x)=g(1)=1,maxg(x)=g(3)=7。
根据 m ( x 2 − x + 1 ) < 6 m(x^2 - x + 1) < 6 m(x2−x+1)<6可以得到：
m < 6 x 2 − x + 1 ≤ 6 7 m < \frac{6}{x^2 - x + 1} \leq \frac{6}{7} m<x2−x+16≤76
也就是说， m m m的取值范围为： { m ∣ m < 6 7 } \{m | m < \frac{6}{7}\} {m∣m<76}。

考点分析：二次函数的性质，什么时候是凹曲线，什么时候是凸曲线，什么时候和 x x x轴有交点。

3 求解析式

【题1】已知 f ( x ) f(x) f(x)是定义在 R \mathbb{R} R的奇函数，且当 x > 0 x > 0 x>0时， f ( x ) = 1 − 3 x f(x) = 1 - 3^x f(x)=1−3x
（1）求函数 f ( x ) f(x) f(x)的解析式；
（2）当 x ∈ [ 2 , 8 ] x \in [2, 8] x∈[2,8]时，方程 f ( log ⁡ 2 2 x ) + f ( 4 − a log ⁡ 2 x ) > 0 f(\log_2^2x) + f(4 - a\log_2x) > 0 f(log22x)+f(4−alog2x)>0有解，求实数 a a a的取值范围。
【分析及解答】
（1）求函数的解析式，就是求自变量 x x x在其取值范围内对应的方程
根据两个已知条件：
f ( x ) f(x) f(x)是定义在 R \mathbb{R} R的奇函数
x > 0 x > 0 x>0时， f ( x ) = 1 − 3 x f(x) = 1 - 3^x f(x)=1−3x
可知
x < 0 x < 0 x<0时， f ( − x ) = − f ( x ) = 3 x − 1 f(-x) = - f(x) = 3^x - 1 f(−x)=−f(x)=3x−1。
x = 0 x = 0 x=0时，也可以得到 f ( x ) = 1 − 3 x = 0 f(x) = 1 - 3^x = 0 f(x)=1−3x=0或者 f ( x ) = 3 x − 1 = 0 f(x) = 3^x - 1 = 0 f(x)=3x−1=0；
因此最终的解析式为：
f ( x ) = { 1 − 3 x x ≥ 0 3 x − 1 x < 0 f(x) = \left\{\begin{array}{l} 1 - 3^x & x \geq 0 \\ 3^x - 1 & x < 0 \end{array}\right. f(x)={1−3x3x−1x≥0x<0
（2）
先分析第一项。
当 x ∈ [ 2 , 8 ] x \in [2, 8] x∈[2,8]时， log ⁡ 2 2 x > 0 \log_2^2x > 0 log22x>0，并且 log ⁡ 2 x \log_2x log2x在 x ∈ [ 2 , 8 ] x \in [2, 8] x∈[2,8]是单调递增函数， min ⁡ log ⁡ 2 2 x = log ⁡ 2 2 2 = 1 , max ⁡ log ⁡ 2 2 x = log ⁡ 2 2 8 = 9 \min \log_2^2x = \log_2^22 = 1, \max \log_2^2x = \log_2^28 = 9 minlog22x=log222=1,maxlog22x=log228=9。
f ( log ⁡ 2 2 x ) = 1 − 3 log ⁡ 2 2 x f(\log_2^2x) = 1 - 3^{\log_2^2x} f(log22x)=1−3log22x是单调递减函数，则
min ⁡ f ( log ⁡ 2 2 x ) = f ( 9 ) = 1 − 3 9 < 0 , max ⁡ f ( log ⁡ 2 2 x ) = f ( 1 ) = 1 − 3 1 < 0 \begin{array}{l} \min f(\log_2^2x) = f(9) = 1 - 3^9 < 0, \\ \max f(\log_2^2x) = f(1) = 1 - 3^1 < 0 \end{array} minf(log22x)=f(9)=1−39<0,maxf(log22x)=f(1)=1−31<0
再分析第二项 f ( 4 − a log ⁡ 2 x ) f(4 - a\log_2x) f(4−alog2x)。
假设 4 − a log ⁡ 2 x ≥ 0 4 - a\log_2x \geq 0 4−alog2x≥0，则 f ( 4 − a log ⁡ 2 x ) = 1 − 3 4 − a log ⁡ 2 x f(4 - a\log_2x) = 1 - 3^{4 - a\log_2x} f(4−alog2x)=1−34−alog2x是一个单调递减函数，最大值为 f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0，结合第一式可知，不满足条件。
也就是说只有 4 − a log ⁡ 2 x < 0 4 - a\log_2x < 0 4−alog2x<0才能满足条件，可以得到 x a > 2 4 x^a > 2^4 xa>24,因为 x ∈ [ 2 , 8 ] x \in [2, 8] x∈[2,8]， x a x^a xa是单调递增函数，即：
min ⁡ x a = 2 a , max ⁡ x a = 8 a \begin{array}{l} \min x^a = 2^a, \\ \max x^a = 8^a \end{array} minxa=2a,maxxa=8a
即 2 a > 2 4 2^a > 2^4 2a>24，根据指数函数的单调性可知， a > 4 a > 4 a>4。
根据第一式最大值为 − 2 -2 −2，我们可以得到：
f ( 4 − a log ⁡ 2 x ) = 1 − 3 4 − a log ⁡ 2 x > 2 f(4 - a\log_2x) = 1 - 3^{4 - a\log_2x} > 2 f(4−alog2x)=1−34−alog2x>2
即
3 4 − a log ⁡ 2 x < 1 3^{4 - a\log_2x} < 1 34−alog2x<1
即 4 − a log ⁡ 2 x < 0 4 - a\log_2x < 0 4−alog2x<0满足条件，验证通过。
综上述： a > 4 a > 4 a>4。
考点分析：第一就是分析能力，第二就是对数函数和指数函数的性质要特别熟悉。

【题2】已知幂函数 f ( x ) = ( 2 m 2 + m ) x m f(x) = (2m^2 + m)x^m f(x)=(2m2+m)xm在 ( 0 , + ∞ ) (0, +\infty) (0,+∞)上单调递增，函数 g ( x ) g(x) g(x)满足 g ( 2 x − 1 ) = − 4 x 2 − 4 x + 1 g(2x-1) = -4x^2 - 4x + 1 g(2x−1)=−4x2−4x+1。
（1）求 f ( x ) , g ( x ) f(x), g(x) f(x),g(x)的解析式；
（2）已知实数 a , b a, b a,b，满足 f ( a − 1 ) + 1 f ( a − 1 ) = g ( b ) f(a-1) + \frac{1}{f(a-1)} = g(b) f(a−1)+f(a−1)1=g(b)，求 a b a^b ab的值。
【分析及解答】
（1）
先求 f ( x ) f(x) f(x)的解析式。
指数函数的性质如下：

根据幂函数的定义得到：
幂函数的一般形式是 y = x a y = x^a y=xa ，其中， a a a可为任何常数，但中学阶段仅研究 a a a为有理数的情形。
可得： 2 m 2 + m = 1 ⇒ ( 2 m − 1 ) ( m + 1 ) = 0 ⇒ m = 1 2 或 m = − 1 2m^2 + m = 1 \Rightarrow (2m -1)(m+1) = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{2}或m = -1 2m2+m=1⇒(2m−1)(m+1)=0⇒m=21或m=−1。

根据指数函数的性质及单增函数的条件，必须舍弃 m = − 1 m = -1 m=−1，可以得到：
f ( x ) = x 1 2 f(x) = x^{\frac{1}{2}} f(x)=x21
再求 g ( x ) g(x) g(x)的解析式。
g ( 2 x − 1 ) = − 4 x 2 − 4 x + 1 = − ( 2 x − 1 ) 2 − 8 x + 2 = − ( 2 x − 1 ) 2 − 4 ( 2 x − 1 ) − 2 g(2x-1) = -4x^2 - 4x + 1 = -(2x -1)^2 - 8x + 2 = -(2x -1)^2 - 4(2x -1) -2 g(2x−1)=−4x2−4x+1=−(2x−1)2−8x+2=−(2x−1)2−4(2x−1)−2.
所以： g ( x ) = − x 2 − 4 x − 2 g(x) = -x^2 - 4x - 2 g(x)=−x2−4x−2.
（2） f ( a − 1 ) + 1 f ( a − 1 ) = g ( b ) f(a-1) + \frac{1}{f(a-1)} = g(b) f(a−1)+f(a−1)1=g(b)代入得：
( a − 1 ) 1 2 + 1 ( a − 1 ) 1 2 = − b 2 − 4 b − 2 ⇒ a > 1 , ( a − 1 ) 1 2 + 1 ( a − 1 ) 1 2 = − ( b + 2 ) 2 + 2 \begin{array}{l} (a-1)^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{(a-1)^{\frac{1}{2}}} = -b^2 - 4b - 2 \\ \Rightarrow \\ a > 1, (a-1)^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{(a-1)^{\frac{1}{2}}} = -(b+2)^2 + 2\\ \end{array} (a−1)21+(a−1)211=−b2−4b−2⇒a>1,(a−1)21+(a−1)211=−(b+2)2+2
根据
a > 1 时 , f ( a − 1 ) + 1 f ( a − 1 ) ≥ 2 f ( a − 1 ) 1 f ( a − 1 ) = 2 a>1时, f(a-1) + \frac{1}{f(a-1)} \geq 2\sqrt{f(a-1) \frac{1}{f(a-1)}} = 2 a>1时,f(a−1)+f(a−1)1≥2f(a−1)f(a−1)1 =2
可以求得 a = 2 , b = − 2 a = 2, b = -2 a=2,b=−2，所以 a b = 2 − 2 = 1 4 a^b = 2^{-2} = \frac{1}{4} ab=2−2=41.
考点分析：
（1）幂函数的定义；
（2）指数函数的性质；
（3） a 2 + b 2 ≥ 2 a b a^2 + b^2 \geq 2ab a2+b2≥2ab。