信息学奥赛一本通 1092：求出e的值 | OpenJudge NOI 1.5 35

2024-04-06 10:25:45

【题目链接】

ybt 1092：求出e的值
OpenJudge NOI 1.5 35:求出e的值

【题目考点】

1. 求一个数的阶乘

假设求n的阶乘，设结果变量为r，其初值为1。
i从1循环到n，每次循环将i与r相乘，结果赋值给r。
最后得到的r就是阶乘的结果

int f(int n)//求n的阶乘函数，返回值是n的阶乘。
{int r = 1;for(int i = 1; i <= n; ++i)r *= i;return r;
}

2. 求和

3. 循环嵌套

【注意事项】

由于本题中n的最大值是15，而15!15!15!的值为1307674368000，共13位，超出了int型量可以表示的范围。
因此保存阶乘值的类型设为double

【思路及题解代码】

解法1：循环嵌套

在求和的循环内部，实现求1i!\frac{1}{i!}i!1的逻辑

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int n;cin>>n;double sum = 1, v;//sum：和，初始值是1，再分别加各个项。v：某一项的值 for(int i = 1; i <= n; ++i){v = 1; for(int j = 1; j <= i; ++j)//求1 / i! v *= 1.0 / j;sum += v;}cout<<fixed<<setprecision(10)<<sum;return 0;
}

解法2：设置阶乘函数

循环加和，在循环中调用阶乘函数，求数i的阶乘i!i!i!，继而求出1i!\frac{1}{i!}i!1，将其加入和中。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double f(int n)//求n的阶乘
{double r = 1;for (int i = 1; i <= n; ++i)r *= i;return r;
}
int main()
{int n;cin>>n;double sum = 1;//和的初始值是1，再分别加各个阶乘项 for(int i = 1; i <= n; ++i)sum += 1 / f(i);cout<<fixed<<setprecision(10)<<sum;return 0;
}

解法3：

观察公式，不看最初的1，从1!开始算第1项。第1项是11!\frac{1}{1!}1!1，第2项是12!\frac{1}{2!}2!1，…，第i-1项是1(i−1)!\frac{1}{(i-1)!}(i−1)!1，第i项是1i!\frac{1}{i!}i!1
已知1i!=1i⋅1(i−1)!\frac{1}{i!} = \frac{1}{i} \cdot \frac{1}{(i-1)!}i!1=i1⋅(i−1)!1
只需要设变量v表示某一项的值，初值为1。
每次循环，对v除以i，即可得到新的一项，并将该项加入和sum中。
该解法的时间复杂度为O(n)O(n)O(n)，优于解法1,2。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{double sum = 1, v = 1;//s为加和，v为每一项的值int n;cin>>n;for(int i = 1; i <= n; ++i){v /= i;sum += v;}cout<<fixed<<setprecision(10)<<sum;return 0;
}

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