2018.8.4T3（大容斥）

描述
蔡老板得到了一块 N * N 的方格，我们用 (x,y) 表示里面第 x 行第 y 列的房子 (1<=x,y<=N)。

现在蔡老板要在上面盖 N 间房子，盖房子要满足以下几个条件：

1.任意一行至少有一间房子

2.任意一列至少有一间房子

3.正对角线上 (即所有满足 x=y的格子)至少有一间房子

4.负对角线上 (即所有满足 x+y=N+1 的格子)至少有一间房子

不幸的是，刚好有 K 个方格因为种种原因不能在上面盖房子，现在蔡老板想知道有几种盖房子的方案

由于方案数可能过大，你只需要输出答案对 10007 取模的值即可

输入格式
第一行两个整数 N,K

接下来 K 行，每行两个正整数 x,y 表示 (x,y) 这个格子不能在上面盖房子

保证一个格子不会重复给多次

输出格式
输出一个非负整数，表示答案对 10007取模后的值

样例1
input
2 0
output
0
样例2
input
3 1
1 2
output
2
样例3
input
16 2
1 3
5 7
output
7970
数据范围
对于 10% 的数据，有 1≤N≤8
对于 30% 的数据，有 1≤N≤16
另有 20%的数据，满足K=0
对于 100% 的数据，有 1≤N≤32 , 0≤K≤8
限制
时间限制：1s

空间限制：512MB

大容斥…
部分分可以状压dp
但是这里行列之间的关系仅仅是每行每列只能放一个，对角线只能放一个
这样的话大可不必状压dp，浪费时间空间
同时还有一些地方不能盖房子

现在有四个限制：
①k个位置不能放
②每行每列至少放一个
③正负对角线至少放一个
④恰好放n个
显然对于④，告诉我们每行每列至少放且至多放①个
那么限制④就被去掉了

对于限制①，我们可以2k2k2^k进行容斥（也就是强制某些位置必须放）
假设iii为我们枚举的状态，numi" role="presentation" style="position: relative;">numinuminum_i表示iii中1" role="presentation" style="position: relative;">111的个数，ansiansians_i，对于iii的答案
ans=∑i=12k−1(−1)numi∗ansi" role="presentation" style="position: relative;">ans=∑2k−1i=1(−1)numi∗ansians=∑i=12k−1(−1)numi∗ansians = \sum_{i=1}^{2^k-1} (-1)^{num_i} * ans_i

考虑ansiansians_i怎么求
考虑限制③
我们再进行容斥
分别求出总方案数aaa
正对角线不放东西的方案数b" role="presentation" style="position: relative;">bbb
负对角线不放东西的方案数ccc
正负对角线都不放东西的方案数d" role="presentation" style="position: relative;">ddd
ansiansians_i就是这种情况下的a−b−c+da−b−c+da-b-c+d
然后限制③就没了

对于限制②
我们把之前强制放的位置对应的行列删除
剩下的就是一个更小的方阵，上面有一些禁区不能盖房子
原本的禁区就是两条对角线
删除一些位置之后我们可以大概想象出新禁区的大致图像
大致就是“跳跃式”的格子
难处理的是正负对角线都有禁区的情况
我们进行行列交换，使正负对角线的禁区大致都移到正对角线上，构成了一个从坐上到右下，要么是1∗11∗11*1要么是2∗22∗22*2的小方块组成的对角线

可能这一步有点难理解
起始我们可以对一开始的图就进行行列交换
把iii行与n−i+1" role="presentation" style="position: relative;">n−i+1n−i+1n-i+1行并在一起
列也是同样的处理这样就形成了这样一个图：

然后我们重复上述的操作之后
最后会剩下类似上图的方阵
那些画出来的是禁区
我们考虑在禁区的限制下我们怎么求方案

也是容斥，我们可以算出来放在禁区的方案数
我们用fifif_i表示在禁区盖了iii个房子，其它位置随意的方案数
ans=" role="presentation" style="position: relative;">ans=ans=ans=总方案−∑mi=1(−1)i∗fi−∑i=1m(−1)i∗fi-\sum_{i=1}^{m} (-1)^i *f_i
fifif_i可以用背包求出

那么这个问题就解决了。
枚举一些必须要放的位置2k2k2^k，对角线容斥4(O(1))4(O(1))4(O(1))，背包n2n2n^2
总复杂度O(2k∗4∗n2)O(2k∗4∗n2)O(2^k*4*n^2)
代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define rep(i,j,k) for(int i = j;i <= k;++i)
#define repp(i,j,k) for(int i = j;i >= k;--i)
const int p = 1e4+7;
int n , k;
int Map[40][40] , num[500] , tmp[40][40];
int now[40][40] , C[40][40] , jc[40];
int dp[40];
bool flag_x[40] , flag_y[40];
struct point{int x , y;
}a[10];
struct fangkuai{int x1,y1,x2,y2;int f[5];
}fk[50];
/*
正对角线为2，负对角线为3，交叉为4
Map:原图
num:1~2^k-1中1的个数
tmp:删除行列后的图
now:容斥完对角线的图
flag:行列标记
fk:每一个方块
*/
int read()
{int sum = 0;char c = getchar();bool flag = true;while( c < '0' || c > '9' ) {if(c == '-') flag = false;c = getchar();}while( c >= '0' && c <= '9' ) sum = sum * 10 + c - 48 , c = getchar();if(flag)  return sum;else return -sum;
}
int solve2(int n,int m)
{int y = 1;int tot = 0;while(y <= m){bool flag = false;rep(x,1,n)if(now[x][y] == 1){fk[++tot].x1 = x;fk[tot].y1 = y;if(fk[tot].x1 == n) fk[tot].x2 = n;elserep(i,x,n) if(now[i][y] == 1)fk[tot].x2 = i;else break;if(fk[tot].y1 == m) fk[tot].y2 = m;elserep(i,y,m)if(now[x][i] == 1)fk[tot].y2 = i;else break;int size = (fk[tot].y2 - fk[tot].y1+1) * (fk[tot].x2 - fk[tot].x1+1);fk[tot].f[0] = 1;fk[tot].f[2] = 0;fk[tot].f[3] = 0;fk[tot].f[4] = 0;if(size == 1)fk[tot].f[1] = 1;else if(size == 2)fk[tot].f[1] = 2;else if(size == 4)fk[tot].f[1] = 4,fk[tot].f[2] = 2;flag = true;break;}if(flag)y = fk[tot].y2 + 1;else y++;}ll ans = 0;memset(dp,0,sizeof(dp));dp[0] = 1;int now_xxx = min(n,m);rep(i,1,tot){repp(j,now_xxx,1){ dp[j] = (dp[j] + dp[j - 1] * fk[i].f[1]) % p;if(j >= 2) dp[j] = (dp[j] + dp[j - 2] * fk[i].f[2]) % p;if(j >= 4) dp[j] = (dp[j] + dp[j - 4] * fk[i].f[4]) % p;}}int flag = 1;rep(i,1,now_xxx){ans += (1ll * flag * dp[i] * jc[now_xxx - i]) % p;flag = -flag;ans %= p;}ans = (jc[now_xxx] - ans + p) % p;return ans;
}
int tmpx[40],tmpy[40];
int solve1(int x)
{int tot = 1;memset(flag_x,0,sizeof(flag_x));memset(flag_y,0,sizeof(flag_y));int noww = x;bool flag1 = false , flag2 = false;while(noww){if(noww & 1){int xxx = a[tot].x , yyy = a[tot].y;if(flag_x[xxx]) return 0;if(flag_y[yyy]) return 0;flag_x[xxx] = true;flag_y[yyy] = true;if(Map[xxx][yyy] == 12 || Map[xxx][yyy] == 14) flag1 = true;if(Map[xxx][yyy] == 13 || Map[xxx][yyy] == 14) flag2 = true;}noww /= 2;tot++;}int totx = 0,toty = 0;rep(i,1,n) if(!flag_x[i]) tmpx[++totx] = i;rep(i,1,n) if(!flag_y[i]) tmpy[++toty] = i;rep(i,1,totx)rep(j,1,toty)tmp[i][j] = Map[tmpx[i]][tmpy[j]];int ans = 1ll * C[totx][n-num[x]] * C[toty][n-num[x]] % p;ans = ans * jc[n-num[x]] % p;rep(i,1,totx)//正对角线rep(j,1,toty)if(tmp[i][j]%10 == 2 || tmp[i][j]%10 == 4)now[i][j] = 1;else now[i][j] = 0;if(!flag1)ans = (ans - solve2(totx,toty) + p)%p;rep(i,1,totx)rep(j,1,toty)if(tmp[i][j]%10 == 3 || tmp[i][j]%10 == 4)now[i][j] = 1;else now[i][j] = 0;if(!flag2)ans = (ans - solve2(totx,toty) + p)%p;rep(i,1,totx) rep(j,1,toty)if(tmp[i][j] == 0 || tmp[i][j] == 1)now[i][j] = 0;else now[i][j] = 1;if(!flag1 && !flag2)ans = (ans + solve2(totx,toty) + p)%p;return ans;
}
void work()
{ ll ans = 0;rep(i,0,(1<<k)-1){if(num[i] % 2 == 1) ans = (ans - solve1(i) + p) % p;else ans = (ans + solve1(i)) % p;} printf("%lld\n",ans);   return;
}
void pre()
{rep(i,1,(1<<k)-1){int x = i;while(x){num[i] += x & 1;x /= 2;}}C[0][0] = 1;rep(i,1,n){C[i][0] = C[i][i] = 1;rep(j,1,i-1)C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % p;}jc[0] = 1;rep(i,1,n)jc[i] = 1ll * jc[i - 1] * i % p;}
void swap_(int x,int y){rep(i,1,n) swap(Map[i][x],Map[i][y]);return;}
void move()//行列交换
{int rank[40];rep(i,1,n/2) rank[i] = i * 2 - 1 , rank[n-i+1] = i * 2;if(n % 2 == 1) rank[n/2+1] = n;rep(i,1,n)while(rank[i] != i){swap(Map[i] , Map[rank[i]]);swap(rank[i],rank[rank[i]]);}rep(i,1,n/2) rank[i] = i * 2 - 1 , rank[n-i+1] = i * 2;if(n % 2 == 1) rank[n/2+1] = n;rep(i,1,n)while(rank[i] != i){swap_(i,rank[i]);swap(rank[i],rank[rank[i]]);}return;
}
void init()
{n = read();k = read();rep(i,1,n) Map[i][i] = 2 , Map[i][n-i+1] = 3; if(n % 2 == 1) Map[n/2+1][n/2+1] = 4;rep(i,1,k){int x = read() , y = read();if(Map[x][y])Map[x][y] = 10 + Map[x][y];else Map[x][y] = 1;}move();int tot = 0;rep(i,1,n)rep(j,1,n)if(Map[i][j] == 1 || Map[i][j] / 10 == 1)a[++tot].x = i,a[tot].y = j;return;
}
int main()
{ init();pre();work();return 0;
}

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