集训队作业2018：青春猪头少年不会梦到兔女郎学姐（多限制容斥）（生成函数）（组合数学）

题意

给定 nnn 种颜色的球，第 iii 种颜色的球数量为 aia_iai 个，一种排列的贡献可以如下计算：先把这个序列首尾相连，然后把所有相邻且颜色相同的段拿出来，贡献为他们的长度之积，求所有排列的贡献和，原排列不同，首尾相连后相同的排列不算同一种。模 998244353998244353998244353。

先考虑一个序列怎么做
我们对每一个 iii 枚举将 aia_iai 分成 bib_ibi 段，算出这种情况下的方案数已经每一种颜色的贡献
那么答案可以表示为（用 f(a,b)f(a,b)f(a,b) 表示把 aaa 分成 bbb 段的所有情况的系数之和）
∑bways∗∏f(ai,bi)\sum_{b}ways*\prod f(a_i,b_i)b∑ways∗∏f(ai,bi)
发现 fff 就是把 aaa 分成 bbb 块然后每一块选一个的方案数，巧妙地发现 f(a,b)=(a+b−1b∗2−1)=(a+b−1a−b)f(a,b)=\binom{a+b-1}{b*2-1}=\binom{a+b-1}{a-b}f(a,b)=(b∗2−1a+b−1)=(a−ba+b−1)
考虑求 wayswaysways，把所有颜色放在一起容斥，枚举强制合并的端点个数
ways=∑c(∏(bi−1ci)(−1)ci)(∑bi−ci)!∏(bi−ci)!ways=\sum_{c}(\prod \binom{b_i-1}{c_i}(-1)^{c_i})\frac{(\sum b_i-c_i)!}{\prod(b_i-c_i)!}ways=c∑(∏(cibi−1)(−1)ci)∏(bi−ci)!(∑bi−ci)!
那么放到一起就是，换成枚举合并之后的段数
∑b∑c∏f(ai,bi)(bi−1ci−1)(−1)bi−ci(∑ci)!∏ci!\sum_b\sum_c\prod f(a_i,b_i)\binom{b_i-1}{c_i-1}(-1)^{b_i-c_i}\frac{(\sum c_i)!}{\prod c_i!}b∑c∑∏f(ai,bi)(ci−1bi−1)(−1)bi−ci∏ci!(∑ci)!
发现后面有一个 ∏ci!\prod c_i!∏ci!，考虑构造每一种颜色的 EGFEGFEGF
∑cxcc!∑b≥cf(ai,bi)(bi−1ci−1)(−1)bi−ci\sum_{c}\frac{x^c}{c!}\sum_{b\ge c}f(a_i,b_i)\binom{b_i-1}{c_i-1}(-1)^{b_i-c_i}c∑c!xcb≥c∑f(ai,bi)(ci−1bi−1)(−1)bi−ci
后面的一坨可以 NTTNTTNTT 求，然后分治 FFTFFTFFT 就可以全部乘起来

考虑环的情况怎么做
强制以 1 开头，那么 1 的生成函数的 xcx^cxc 会变成 xc−1x^{c-1}xc−1
减去强制以 1 开头，以 1 结尾的个数，这个的 xcx^cxc 会变成 xc−2x^{c-2}xc−2

但发现还是不对，如果环的循环是 TTT 的话，我们需要统计 TTT 遍，而实际上只统计了
b1∑aiT\frac{b_1}{\frac{\sum a_i}{T}}T∑aib1 遍，我们将第一个生成函数中含 bbb 的项除一个 b1b_1b1，最后乘上 mmm 就可以了

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
using namespace std;
cs int N = 2e5 + 5;
int read(){int cnt = 0, f = 1; char ch = 0;while(!isdigit(ch)){ ch = getchar(); if(ch == '-') f = -1; }while(isdigit(ch)) cnt = cnt*10 + (ch-'0'), ch = getchar();return cnt * f;
}
#define poly vector<int>
#define pb push_back
cs int Mod = 998244353;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; }
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod; }
int dec(int a, int b){ return a - b < 0 ? a - b + Mod : a - b; }
void Add(int &a, int b){ a = add(a, b); }
void Dec(int &a, int b){ a = dec(a, b); }
void Mul(int &a, int b){ a = mul(a, b); }
int coe(int a){ return (a&1)?Mod-1:1; }
int ksm(int a, int b){ int ans=1; for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) ans=mul(ans,a); return ans; }
int n, m, a[N];
int fac[N], ifac[N], inv[N];
poly f[N];
int C(int n, int m){ if(n<0||m<0||n<m) return 0; return mul(fac[n],mul(ifac[n-m],ifac[m])); }
void Fac_init(int n){fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2; i<=n; i++) inv[i]=mul(Mod-Mod/i,inv[Mod%i]);for(int i=2; i<=n; i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i), ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);
}
cs int K = 18;
poly w[K+1];
poly rev; int up, bit;
void init(int deg){up=1,bit=0; while(up<deg) up<<=1,++bit; rev.resize(up);for(int i=0; i<up; i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
}
void NTT_init(){for(int i=1; i<=K; i++) w[i].resize(1<<i-1);int wn=ksm(3,(Mod-1)/(1<<K)); w[K][0] = 1; for(int i = 1; i < (1<<K-1); i++) w[K][i]=mul(w[K][i-1], wn);for(int i = K-1; i; i--) for(int j=0; j<(1<<i-1); j++) w[i][j]=w[i+1][j<<1];
}
void NTT(poly &a, int typ){for(int i=0; i<up; i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);for(int i=1,l=1; i<up; i<<=1,++l)for(int j=0; j<up; j+=(i<<1))for(int k=0; k<i; k++){int x=a[k+j], y=mul(a[k+j+i],w[l][k]);a[k+j]=add(x,y); a[k+j+i]=dec(x,y);}if(typ==-1){reverse(a.begin()+1,a.end());for(int iv=ksm(up,Mod-2),i=0; i<up; i++) a[i]=mul(a[i],iv);}
}
poly operator * (poly a, poly b){int deg = a.size()+b.size()-1; init(deg); a.resize(up); b.resize(up); NTT(a,1); NTT(b,1);for(int i=0; i<up; i++) a[i]=mul(a[i],b[i]); NTT(a,-1); a.resize(deg); return a;
}
poly Solve(int l, int r){if(l==r){ for(int i=1; i<f[l].size(); i++) Mul(f[l][i], ifac[i]); return f[l]; } int mid=(l+r)>>1; return Solve(l,mid) * Solve(mid+1,r);
}
int main(){n = read();for(int i = 1; i <= n; i++) m+=a[i]=read();    Fac_init(m); NTT_init();for(int i = 1; i <= n; i++){poly g(a[i]+1, 0), h(a[i]+1, 0);for(int j = 1; j <= a[i]; j++) g[j]=mul(fac[j-1], C(a[i]+j-1,a[i]-j));if(i==1) for(int j=1; j<=a[i]; j++) Mul(g[j], inv[j]);for(int j=0; j<=a[i]; j++) h[a[i]-j] = mul(ifac[j], coe(j));g=g*h; f[i].resize(a[i]+1);for(int j=1; j<=a[i]; j++) f[i][j]=mul(g[a[i]+j], ifac[j-1]);}poly F=Solve(2,n);poly G(a[1],0);for(int i=0; i<G.size(); i++) G[i]=mul(f[1][i+1], ifac[i]);G=G*F;int ans=0;for(int i=1; i<G.size(); i++) Add(ans, mul(G[i],fac[i]));if(a[1]>1){G=poly(a[1]-1,0);for(int i=0; i<G.size(); i++) G[i]=mul(f[1][i+2], ifac[i]);G=G*F;for(int i=1; i<G.size(); i++) Dec(ans, mul(G[i],fac[i]));} cout << mul(ans, m); return 0;
}

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