周长为定长的所有平面四边形P中，面积最大的为正方形。

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周长为定长的所有平面四边形P中，面积最大的为正方形。

如何来证明这个问题？我在这里采用一种探索模型来证明它。我这里不使用《几何原本》中的从已知到未知的一种证明方式。而是采用一种不断把问题简化来引导我们思考的一种方式。

假如，思考了一会这个问题之后，你没有什么思路怎么办？尝试简化这道题，比如，证明周长为L的所有长方形中，正方形面积最大。
- 设长方形的长和宽为x,yx,yx,y且x+y=Lx+y=Lx+y=L
- xy=S⇒S=x(L−x)=xL−x2=−(x−L2)2+L24xy=S \Rightarrow S=x(L-x)=xL-x^2=-(x-\frac{L}{2})^2+\frac{L^2}{4}xy=S⇒S=x(L−x)=xL−x2=−(x−2L)2+4L2
- 由此可见，x=L2x=\frac{L}{2}x=2L时SSS面积最大。
这里我们就证明了所有周长为L的平面长方形中，正方形面积最大。
顺着这个思路，我们可以考虑一下证明周长为L的平行四边形中，长方形最大。
- 平行四边形的面积公式为-低×\times×高
- 任何一个平行四边形，可以掰正为长方形。斜边变成高。面积必然增大。

所以，平行四边形的面积小于相同边长的长方形。

接下来我们来证明一般的四边形

一般四边形分，凹四边形和凸四边形。
- 我们很容易就可以证明任何的一个凹四边形，总可以找到一个边长一样的凸四边形来表示。且凸四边形的面积更大。
剩下的就是来证明一般的凸四边形了。如何来证明一个凸四边形，小于相同周长的正方形呢？不妨先证明它小于相同周长的平行四边形。如何把一个一般凸四边形按照周长不变变成一个平行四边形？

注意，图上的一般凸四边形和钻石形，还有菱形的周长都一样。图形变化是，先从黑色的四边形变换到虚线的钻石形，再从钻石型变换到菱形粉色。采用的变换方法是先根据绿色基准线变换上下两个三角形。然后再根据黑色基准线变换左右两个三角形。变换的过程中，基准线不变。然后调整三角形另外两条边是的它变成一个等腰三角形。整个过程三角形周长不变。

我们来证明一个辅助命题。**底边相同周长为L的三角形中，等腰三角形面积最大。**如果这个命题得证。我们的原问题就得到了解答。因为我们可以形成一条逻辑链条

凹四边形⩽\leqslant⩽ 凸四边形 ⩽\leqslant⩽ 钻石形 ⩽\leqslant⩽
平行四边形⩽\leqslant⩽ 长方形⩽\leqslant⩽正方形

有了这些命题，我们就可以最终证明周长相同的平面四边形中正方形面积最大。

让我们回到底边相同周长为L的三角形中，等腰三角形面积最大。

底边相同，周长相同的一个三角形，什么时候面积最大？底边高最大的时候。
设底边长为bbb,另外两条边长度不变为aaa.我们设其中一条长为xxx,
另一条为a−xa-xa−x.求xxx为多少时hhh最高.我首先尝试的是去列一个恒等式，企图用求极值的方法来解，但是最终失败了。
x2−h2+(a−x)2−h2=b\sqrt{x^2-h^2}+\sqrt{(a-x)^2-h^2}=bx2−h2+(a−x)2−h2=b
- 最后改变策略，因为面积还有一个公式。因为围绕面积相关知识点应该都有用。所以不妨探索一下下面的公式。
  p(p−a)(p−b)(p−c),p=a+b+c2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},p=\frac{a+b+c}{2}p(p−a)(p−b)(p−c),p=2a+b+c
  那么我们根据这个公式来求极值怎么样？
  
  p(p−x)(p−a+x)(p−b)=f(x)\sqrt{p(p-x)(p-a+x)(p-b)}=f(x)p(p−x)(p−a+x)(p−b)=f(x)
  
  p(p−x)(p−a+x)(p−b)=f2(x),p=a+b2p(p-x)(p-a+x)(p-b)=f^2(x),p=\frac{a+b}{2}p(p−x)(p−a+x)(p−b)=f2(x),p=2a+b
  
  a+b2(a+b2−x)(a+b2−a+x)(a+b2−b)=f2(x)\frac{a+b}{2}(\frac{a+b}{2}-x)(\frac{a+b}{2}-a+x)(\frac{a+b}{2}-b)=f^2(x)2a+b(2a+b−x)(2a+b−a+x)(2a+b−b)=f2(x)
  
  整理一下得
  
  −116(a−b)(a+b)(a−b−2x)(a+b−2x)-\frac{1}{16} (a-b) (a+b) (a-b-2 x) (a+b-2 x)−161(a−b)(a+b)(a−b−2x)(a+b−2x)
  
  −116(a2−b2)(a2−4ax−b2+4x2)-\frac{1}{16}(a^2-b^2)(a^2-4 a x-b^2+4 x^2)−161(a2−b2)(a2−4ax−b2+4x2)
  
  极值所在位置为a2\frac{a}{2}2a,也就是说边长一定，周长相同的三角形中等腰三角形面积最大。

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