1. 简介

前两节介绍的车辆模型 未能考虑车辆的操纵稳定性，或者说只能体现车辆横摆稳定性
鉴于无人驾驶车辆的操纵稳定性需要综合考虑车辆的横摆稳定性和侧倾稳定性
因此建立 横摆、侧滑和侧倾综合等效约束 的车辆动力学模型十分重要

2. 模型受力分析

考虑车辆的侧倾运动，建立横摆、侧滑和侧倾综合等效约束的车辆动力学模型受力分析如图：

根据牛顿第二定律，分别得到车辆沿 yyy 轴的受力平衡方程以及车辆绕 zzz 轴和 xxx 轴的转动力矩平衡方程：
mv˙y=FY−mvxφ˙+mhCG[sin⁡(θ)sin⁡(ϕ)ϕ˙φ˙−sin⁡(ϕ)φ˙2−sin⁡(ϕ)ϕ˙2−sin⁡(θ)cos⁡(ϕ)φ¨−2cos⁡(θ)cos⁡(ϕ)θ˙ϕ˙+cos⁡(ϕ)φ¨](32)m \dot{v}_y = F_Y - mv_x\dot{\varphi}+mh_{CG}[\sin(\theta)\sin(\phi)\dot{\phi}\dot{\varphi}-\sin(\phi)\dot{\varphi}^2-\sin(\phi)\dot{\phi}^2- \\ \sin(\theta)\cos(\phi)\ddot{\varphi}-2\cos(\theta)\cos(\phi)\dot{\theta}\dot{\phi}+\cos(\phi)\ddot{\varphi}] \tag{32}mv˙y=FY−mvxφ˙+mhCG[sin(θ)sin(ϕ)ϕ˙φ˙−sin(ϕ)φ˙2−sin(ϕ)ϕ˙2−sin(θ)cos(ϕ)φ¨−2cos(θ)cos(ϕ)θ˙ϕ˙+cos(ϕ)φ¨](32)

φ¨{Ixsin⁡(θ)2+cos⁡(θ)2[Iysin⁡(ϕ)2+Izcos⁡(ϕ)2]}=Mx−hCG[FXsin⁡(ϕ)+FYsin⁡(θ)cos⁡(ϕ)](33)\ddot{\varphi}\{I_x\sin(\theta)^2+\cos(\theta)^2[I_y\sin(\phi)^2+I_z\cos(\phi)^2] \}= M_x -\\ h_{CG}[F_X\sin(\phi)+F_Y\sin(\theta)\cos(\phi)] \tag{33}φ¨{Ixsin(θ)2+cos(θ)2[Iysin(ϕ)2+Izcos(ϕ)2]}=Mx−hCG[FXsin(ϕ)+FYsin(θ)cos(ϕ)](33)

ϕ¨[Ixcos⁡(θ)2+Iysin⁡(θ)2sin⁡(ϕ)2+Izsin⁡(θ)2cos⁡(ϕ)2]=−Mx+hCG[FYcos⁡(θ)cos⁡(ϕ)+mgsin⁡(ϕ)]+θ˙φ˙[Iycos⁡(ϕ)2+Izsin⁡(ϕ)2]+φ˙△Iyz[φ˙sin⁡(ϕ)cos⁡(ϕ)cos⁡(θ)+ϕ˙sin⁡(ϕ)cos⁡(ϕ)sin⁡(θ)](34)\ddot{\phi}[I_x\cos(\theta)^2+I_y\sin(\theta)^2\sin(\phi)^2+I_z\sin(\theta)^2\cos(\phi)^2]=-M_x+ \\ h_{CG}[F_Y\cos(\theta)\cos(\phi)+mg\sin(\phi)]+\dot{\theta}\dot{\varphi}[I_y\cos(\phi)^2+I_z\sin(\phi)^2]+\\ \dot{\varphi}\bigtriangleup I_{yz}[\dot{\varphi}\sin(\phi)\cos(\phi)\cos(\theta)+\dot{\phi}\sin(\phi)\cos(\phi)\sin(\theta)] \tag{34}ϕ¨[Ixcos(θ)2+Iysin(θ)2sin(ϕ)2+Izsin(θ)2cos(ϕ)2]=−Mx+hCG[FYcos(θ)cos(ϕ)+mgsin(ϕ)]+θ˙φ˙[Iycos(ϕ)2+Izsin(ϕ)2]+φ˙△Iyz[φ˙sin(ϕ)cos(ϕ)cos(θ)+ϕ˙sin(ϕ)cos(ϕ)sin(θ)](34)

符号	含义	符号	含义	符号	含义
mmm	车辆质量	vXv_XvX	车体坐标系下质心的纵向速度	vyv_yvy	车体坐标系下质心的侧向速度
FXF_XFX	轮胎受到的横、纵向力在车体坐标系xxx轴上的合力	φ˙\dot{\varphi}φ˙	车辆横摆角的变化量	hCGh_{CG}hCG	车辆质心高度
FYF_YFY	轮胎受到的横、纵向力在车体坐标系yyy轴上的合力	θ\thetaθ	车辆俯仰角	ϕ\phiϕ	车辆侧倾角
Ix,Iy,IzI_x,\ I_y,\ I_zIx, Iy, Iz	车辆绕xxx轴、yyy轴和zzz轴的转动惯量	△Iyz\bigtriangleup I_{yz}△Iyz	交叉转动惯量	δf\delta_fδf	前轮偏角
MxM_xMx	侧倾阻力矩	KϕK_{\phi}Kϕ	车辆的侧倾刚度系数	DϕD_{\phi}Dϕ	车辆的侧倾阻尼系数
FdisspF_{dissp}Fdissp	车辆在纵向上受到阻力的合力	Fxf，FxrF_{xf}，F_{xr}Fxf，Fxr	车辆前、后轴上轮胎纵向力的合力	Fyf，FyrF_{yf}，F_{yr}Fyf，Fyr	车辆前、后轴上轮胎侧向力的合力

其中 FX=Fxfcos⁡(δf)−Fyfsin⁡(δf)+Fxr−FdisspF_X=F_{xf}\cos(\delta_f)-F_{yf}\sin(\delta_f)+F_{xr}-F_{dissp}FX=Fxfcos(δf)−Fyfsin(δf)+Fxr−Fdissp，为轮胎受到的横、纵向力在车体坐标系xxx轴上的合力
FY=Fxfsin⁡(δf)+Fyfcos⁡(δf)+FyrF_Y=F_{xf}\sin(\delta_f)+F_{yf}\cos(\delta_f)+F_{yr}FY=Fxfsin(δf)+Fyfcos(δf)+Fyr，为轮胎受到的横、纵向力在车体坐标系yyy轴上的合力
△Iyz=Iy−Iz\bigtriangleup I_{yz}=I_y-I_z△Iyz=Iy−Iz 为交叉转动惯量

此时，车体的侧倾角主要是由于车辆悬架系统变形所产生的
将车辆的悬架系统简化为一个弹簧-阻尼模型，则 Mx=Kϕϕ+Dϕϕ˙M_x=K_{\phi}\phi+D_{\phi}\dot{\phi}Mx=Kϕϕ+Dϕϕ˙ 为悬架系统产生的侧倾阻力矩
KϕK_{\phi}Kϕ 和 DϕD_{\phi}Dϕ 分别表示车辆的侧倾刚度系数和侧倾阻尼系数

3. 简化

主要关注车辆的横摆运动与翻滚运动
因此对于车辆的俯仰运动，令 θ≈0\theta≈0θ≈0，θ˙≈0\dot{\theta}≈0θ˙≈0，则式(32)~式(34) 可以简化为：
mv˙y=FY−mvxφ˙+mhCG[−sin⁡(ϕ)φ˙2−sin⁡(ϕ)ϕ˙2+cos⁡(ϕ)φ¨](35)m \dot{v}_y = F_Y - mv_x\dot{\varphi}+mh_{CG}[-\sin(\phi)\dot{\varphi}^2-\sin(\phi)\dot{\phi}^2+\cos(\phi)\ddot{\varphi}] \tag{35}mv˙y=FY−mvxφ˙+mhCG[−sin(ϕ)φ˙2−sin(ϕ)ϕ˙2+cos(ϕ)φ¨](35)
φ¨=Mx−FXhCGsin⁡(ϕ)Iysin⁡(ϕ)2+Izcos⁡(ϕ)2(36)\ddot{\varphi}= \frac{M_x -F_Xh_{CG}\sin(\phi)}{I_y\sin(\phi)^2+I_z\cos(\phi)^2} \tag{36}φ¨=Iysin(ϕ)2+Izcos(ϕ)2Mx−FXhCGsin(ϕ)(36)
Ixϕ¨=hCG[FYcos⁡(ϕ)+mgsin⁡(ϕ)]+φ˙2△Iyzsin⁡(ϕ)cos⁡(ϕ)−Mx(37)I_x\ddot{\phi}=h_{CG}[F_Y\cos(\phi)+mg\sin(\phi)]+\dot{\varphi}^2\bigtriangleup I_{yz}\sin(\phi)\cos(\phi)-M_x \tag{37}Ixϕ¨=hCG[FYcos(ϕ)+mgsin(ϕ)]+φ˙2△Iyzsin(ϕ)cos(ϕ)−Mx(37)

对车辆前轮偏角 δf\delta_fδf 和侧倾角 ϕ\phiϕ 等参数做小角度假设
忽略 FXF_XFX 对车辆横摆特性的影响，并且假设 ϕ˙2≈0\dot\phi^2≈0ϕ˙2≈0，φ˙2≈0\dot\varphi^2≈0φ˙2≈0，△Iyz≈0\bigtriangleup I_{yz}≈0△Iyz≈0
则式(35) ~式(37)可简化为：
{mv˙y=−mvxφ˙+mhCGφ¨+(Fyf+Fyr)Izφ¨=(lfFyf−lrFyr)Ixϕ¨=maGYhCG+mghCGϕ−Mx(38)\begin{cases} m \dot{v}_y = - mv_x\dot{\varphi}+mh_{CG}\ddot{\varphi}+(F_{yf}+F_{yr})\\ I_z\ddot{\varphi}= (l_fF_{yf}-l_rF_{yr})\\ I_x\ddot{\phi}=ma_{GY}h_{CG}+mgh_{CG}\phi-M_x \end{cases} \tag{38} ⎩⎪⎨⎪⎧mv˙y=−mvxφ˙+mhCGφ¨+(Fyf+Fyr)Izφ¨=(lfFyf−lrFyr)Ixϕ¨=maGYhCG+mghCGϕ−Mx(38)

其中 FYcos⁡(ϕ)=maGy，aGy=v˙y+φ˙vx−hCGϕ˙2F_Y\cos(\phi)=ma_{Gy}，a_{Gy}=\dot v_y+\dot \varphi v_x-h_{CG}\dot\phi^2FYcos(ϕ)=maGy，aGy=v˙y+φ˙vx−hCGϕ˙2 为车辆质心处的横向加速度

式(38)即为横摆、侧滑和侧倾综合等效约束的车辆动力学微分方程

谢谢

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