1. 车辆横摆动力学模型简化

车辆横摆动力学模型是无人驾驶车辆路径跟踪控制中常用的模型之一

但是在《车辆运动控制（2）车辆横摆动力学建模》中根据单轨模型分析得到2自由度的车辆横摆动力学微分方程：
{v˙y=−vxφ˙+1m[Fyfcos⁡(δf)+Fyr]φ¨=1Iz(lfFyfcos⁡(δf)−lrFyr)(16)\begin{cases} \dot{v}_y=-v_x\dot{\varphi} +\frac{1}{m}[F_{yf}\cos(\delta_f)+F_{yr}]\\\\ \ddot{\varphi}=\frac{1}{I_z}(l_fF_{yf}\cos(\delta_f)-l_rF_{yr}) \end{cases} \tag{16} ⎩⎪⎨⎪⎧v˙y=−vxφ˙+m1[Fyfcos(δf)+Fyr]φ¨=Iz1(lfFyfcos(δf)−lrFyr)(16)

对于模型预测控制器的设计来说还是过于复杂，因此需要对其进行进一步简化

1.1 小角度假设

首先，对前轮偏角 δf\delta_fδf，做小角度假设，即 cos(δf)=1,sin(δf)=0cos(\delta_f)=1,sin(\delta_f) =0cos(δf)=1,sin(δf)=0，则式(16)(16)(16) 可以写作：
{v˙y=−vxφ˙+1m[Fyf+Fyr]φ¨=1Iz(lfFyf−lrFyr)(21)\begin{cases} \dot{v}_y=-v_x\dot{\varphi} +\frac{1}{m}[F_{yf}+F_{yr}]\\\\ \ddot{\varphi}=\frac{1}{I_z}(l_fF_{yf}-l_rF_{yr}) \end{cases} \tag{21} ⎩⎪⎨⎪⎧v˙y=−vxφ˙+m1[Fyf+Fyr]φ¨=Iz1(lfFyf−lrFyr)(21)

此时，式(21)(21)(21) 所表示的车辆动力学模型的非线性特征主要来自轮胎非线性区的轮胎力表达
可以使用《车辆运动控制（3）轮胎模型》推导的线性化轮胎模型对轮胎侧向力式(20)(20)(20) 进行线性化：
Fyf=CˉafαfFyr=Cˉarαr(22)F_{yf} = \bar{C}_{af} \alpha_f \\ F_{yr} = \bar{C}_{ar} \alpha_r \tag{22}Fyf=CˉafαfFyr=Cˉarαr(22)

由于线性化轮胎模型只在轮胎侧偏角较小时具有较高的拟合精度
所以采用小角度假设可近似得到：
{αf=arctan⁡(vy+lfφ˙vx)−δf≈vy+lfφ˙vx−δfαr=arctan⁡(vy−lrφ˙vx)≈vy−lrφ˙vx(23)\begin{cases} \alpha_f = \arctan(\frac{v_y+l_f\dot{\varphi}}{v_x}) - \delta_f ≈ \frac{v_y+l_f\dot{\varphi}}{v_x} - \delta_f \\ \alpha_r = \arctan(\frac{v_y-l_r\dot{\varphi}}{v_x}) ≈ \frac{v_y-l_r\dot{\varphi}}{v_x} \end{cases} \tag{23}{αf=arctan(vxvy+lfφ˙)−δf≈vxvy+lfφ˙−δfαr=arctan(vxvy−lrφ˙)≈vxvy−lrφ˙(23)

符号	含义	符号	含义	符号	含义
αf,αr\alpha_f, \alpha_rαf,αr	前后轮胎侧偏角	vxv_xvx	车体坐标系下质心的纵向速度	lf,lrl_f, \ l_rlf, lr	质心到前/后轴的距离
φ˙\dot{\varphi}φ˙	车辆的横摆角的变化量	vyv_yvy	车体坐标系下质心的侧向速度	δf\delta_fδf	前轮偏角

1.2 轮胎垂向载荷

对于单轨车辆模型，可以忽略轮胎的横向载荷转移，其 轮胎垂向载荷 可以表示为：
{Fzf=1l(mglr−mhCGax)Fzr=1l(mglf+mhCGax)(24)\begin{cases} F_{zf} = \frac{1}{l}(mgl_r-mh_{CG}a_x) \\ F_{zr} = \frac{1}{l}(mgl_f+mh_{CG}a_x) \end{cases} \tag{24}{Fzf=l1(mglr−mhCGax)Fzr=l1(mglf+mhCGax)(24)

符号	含义	符号	含义	符号	含义
FzfF_{zf}Fzf	前轮胎垂向载荷	lfl_flf	质心到前轴的距离	lll	轴距
FzrF_{zr}Fzr	后轮胎垂向载荷	lrl_rlr	质心到后轴的距离	mmm	车体质量
hCGh_{CG}hCG	车体质心高度	axa_xax	纵向加速度	ggg	重力加速度

1.3 简化

结合式(21)(21)(21) ~ 式(24)(24)(24) 可以得到基于前轮偏角小角度假设和线性化轮胎模型的车辆横摆动力学模型

令 ξ˙=[vyφ˙]T\dot{\xi}=[v_y \ \ \dot{\varphi}]^Tξ˙=[vy φ˙]T 为状态矢量，u1=δfu_1=\delta_fu1=δf 为输入矢量
线性化的车辆横摆动力学模型可以写成状态空间方程的形式：
ξ˙=Aξ+B1u1(25)\dot{\xi} = A\xi+B_1u_1\tag{25}ξ˙=Aξ+B1u1(25)

其中，A=[Cˉaf+CˉarmvxlfCˉaf−lrCˉarmvx−vxlfCˉaf−lrCˉarIzvxlf2Cˉaf+lr2CˉarIzvx]，B1=[−Cˉafm−lfCˉafIz]TA= \begin{bmatrix} \frac{\bar{C}_{af}+\bar{C}_{ar}}{mv_x} &\frac{l_f\bar{C}_{af}-l_r\bar{C}_{ar}}{mv_x} - v_x \\ \frac{l_f\bar{C}_{af}-l_r\bar{C}_{ar}}{I_zv_x} & \frac{l_f^2\bar{C}_{af}+l_r^2\bar{C}_{ar}}{I_zv_x} \end{bmatrix}， B_1= \begin{bmatrix} -\frac{\bar{C}_{af}}{m} \ \ -\frac{l_f\bar{C}_{af}}{I_z} \end{bmatrix}^TA=[mvxCˉaf+CˉarIzvxlfCˉaf−lrCˉarmvxlfCˉaf−lrCˉar−vxIzvxlf2Cˉaf+lr2Cˉar]，B1=[−mCˉaf −IzlfCˉaf]T

符号	含义	符号	含义	符号	含义
vyv_yvy	车体坐标系下质心的侧向速度	vxv_xvx	车体坐标系下质心的纵向速度	φ˙\dot{\varphi}φ˙	车辆的横摆角的变化量
δf\delta_fδf	前轮偏角	Cˉaf\bar{C}_{af}Cˉaf	前轮胎的线性侧偏刚度	Cˉar\bar{C}_{ar}Cˉar	后轮胎的线性侧偏刚度
mmm	车体质量	IzI_zIz	车辆绕zzz轴的转动惯量	lf,lrl_f, l_rlf,lr	质心到前/后轴的距离

单轨车辆模型前轮和后轮的线性侧偏刚度 Cˉaf\bar{C}_{af}Cˉaf，Cˉar\bar{C}_{ar}Cˉar，在实际应用中可以通过估计得到

2. 考虑道路曲率

式(25)(25)(25) 所表示的车辆横摆动力学模型能够反映车辆的横摆特性
常被用于车辆的横摆稳定性分析
然而，此模型的不足在于没有考虑车辆的侧倾动力学特性，无法体现车辆的侧倾稳定性约束，不适用于存在复杂道路倾角的路径跟踪控制

当无人驾驶车辆进行路径跟踪时，道路曲率对其转向特性和行驶稳定性也有重要影响
直接关系到无人驾驶车辆动力学模型的准确程度

因此，当车辆横摆动力学应用于无人驾驶车辆的路径跟踪控制时
还需要考虑道路曲率的影响，图所示：

将式(11)(11)(11) 与式(21)(21)(21) 相结合，得到考虑道路曲率的车辆横摆动力学模型：
{v˙y=−vxφ˙+1m[Fyf+Fyr]φ¨=1Iz(lfFyf−lrFyr)eφ˙=φ˙−κrefvxed˙=vxeφ+vy(26)\begin{cases} \dot{v}_y=-v_x\dot{\varphi} +\frac{1}{m}[F_{yf}+F_{yr}]\\ \ddot{\varphi}=\frac{1}{I_z}(l_fF_{yf}-l_rF_{yr})\\ \dot{e_\varphi}=\dot\varphi-\kappa_{ref}v_x\\ \dot{e_d}=v_xe_\varphi+ v_y \end{cases} \tag{26} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧v˙y=−vxφ˙+m1[Fyf+Fyr]φ¨=Iz1(lfFyf−lrFyr)eφ˙=φ˙−κrefvxed˙=vxeφ+vy(26)
其中，KrefK_{ref}Kref 为由期望路径得到的参考曲率

综合式(22)(22)(22)、式(24)(24)(24)和式(26)(26)(26)

令 ξ˙=[vyφ˙edeφ]T\dot{\xi}=[v_y \ \ \dot{\varphi}\ \ e_d \ \ e_{\varphi}]^Tξ˙=[vy φ˙ ed eφ]T 为状态矢量，u1=δfu_1=\delta_fu1=δf 为输入矢量，u2=Krefu_2=K_{ref}u2=Kref 为附加输入量

可以得到考虑道路曲率的车辆动力学模型：
ξ˙=Aξ+B1u1+B2u2(27)\dot{\xi} = A\xi+B_1u_1+B_2u_2\tag{27}ξ˙=Aξ+B1u1+B2u2(27)
其中，
A=[Cˉaf+CˉarmvxlfCˉaf−lrCˉarmvx−vx00lfCˉaf−lrCˉarIzvxlf2Cˉaf+lr2CˉarIzvx00100vx0100]，B1=[−Cˉafm−lfCˉafIz00]，B2=[000−vx]A= \begin{bmatrix} \frac{\bar{C}_{af}+\bar{C}_{ar}}{mv_x} &\frac{l_f\bar{C}_{af}-l_r\bar{C}_{ar}}{mv_x} - v_x & 0&0 \\ \frac{l_f\bar{C}_{af}-l_r\bar{C}_{ar}}{I_zv_x} & \frac{l_f^2\bar{C}_{af}+l_r^2\bar{C}_{ar}}{I_zv_x} &0&0\\1&0&0&v_x\\0&1&0&0\end{bmatrix}， B_1= \begin{bmatrix} -\frac{\bar{C}_{af}}{m} \\ -\frac{l_f\bar{C}_{af}}{I_z} \\0\\0\end{bmatrix}， B_2= \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\-v_x\end{bmatrix}A=⎣⎢⎢⎢⎡mvxCˉaf+CˉarIzvxlfCˉaf−lrCˉar10mvxlfCˉaf−lrCˉar−vxIzvxlf2Cˉaf+lr2Cˉar01000000vx0⎦⎥⎥⎥⎤，B1=⎣⎢⎢⎢⎡−mCˉaf−IzlfCˉaf00⎦⎥⎥⎥⎤，B2=⎣⎢⎢⎡000−vx⎦⎥⎥⎤

符号	含义	符号	含义	符号	含义
vyv_yvy	车体坐标系下质心的侧向速度	vxv_xvx	车体坐标系下质心的纵向速度	φ˙\dot{\varphi}φ˙	车辆的横摆角的变化量
δf\delta_fδf	前轮偏角	Cˉaf\bar{C}_{af}Cˉaf	前轮胎的线性侧偏刚度	Cˉar\bar{C}_{ar}Cˉar	后轮胎的线性侧偏刚度
mmm	车体质量	IzI_zIz	车辆绕zzz轴的转动惯量	lfl_flf	质心到前轴的距离
ede_ded	路径跟踪的距离偏差	eφe_\varphieφ	路径跟踪的航向偏差	lrl_rlr	质心到后轴的距离

3. 考虑轮胎滑移

之前建立的车辆动力学模型假设车辆速度保持恒定
且忽略了轮胎与地面之间的滑移作用

实际上,，轮胎滑移对轮胎的纵向力有明显的影响
特别是在 道路摩擦系数较低的情况 下
因此建过能够考虑轮胎滑移的车辆动力模型也是很有必要的

比较常用的是 基于前轮偏角较小 和 线性轮胎模型假设 的车辆动力学非线性模型
其表达式为：
{mv˙y=−mvxφ˙+2[Cˉaf(δf−vy+lfφ˙vx)+Cˉarlrφ˙−vyvx]mv˙x=−mvyφ˙+2[Clfsf+Cˉaf(δf−vy+lfφ˙vx)δf+Clrsr]Izφ¨=2[lfCˉaf(δf−vy+lfφ˙vx)−lfCˉarlrφ˙−vyvx]Y˙=vxsin⁡φ+vycos⁡φX˙=vxcos⁡φ−vysin⁡φ(28)\begin{cases} m\dot{v}_y=-mv_x\dot{\varphi} +2[\bar{C}_{af}(\delta_f-\frac{v_y+l_f\dot{\varphi}}{v_x})+\bar{C}_{ar}\frac{l_r\dot{\varphi}-v_y}{v_x}]\\ m\dot{v}_x=-mv_y\dot{\varphi} +2[C_{lf}s_f+\bar{C}_{af}(\delta_f-\frac{v_y+l_f\dot{\varphi}}{v_x})\delta_f+C_{lr}s_r]\\ I_z\ddot{\varphi}=2[l_f\bar{C}_{af}(\delta_f-\frac{v_y+l_f\dot{\varphi}}{v_x})-l_f\bar{C}_{ar}\frac{l_r\dot{\varphi}-v_y}{v_x}]\\ \dot{Y}= v_x\sin\varphi + v_y\cos\varphi\\ \dot{X}= v_x\cos\varphi - v_y\sin\varphi \end{cases} \tag{28} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧mv˙y=−mvxφ˙+2[Cˉaf(δf−vxvy+lfφ˙)+Cˉarvxlrφ˙−vy]mv˙x=−mvyφ˙+2[Clfsf+Cˉaf(δf−vxvy+lfφ˙)δf+Clrsr]Izφ¨=2[lfCˉaf(δf−vxvy+lfφ˙)−lfCˉarvxlrφ˙−vy]Y˙=vxsinφ+vycosφX˙=vxcosφ−vysinφ(28)

符号	含义	符号	含义	符号	含义
vyv_yvy	车体坐标系下质心的侧向速度	vxv_xvx	车体坐标系下质心的纵向速度	φ˙\dot{\varphi}φ˙	车辆的横摆角的变化量
δf\delta_fδf	前轮偏角	Cˉaf\bar{C}_{af}Cˉaf	前轮胎的线性侧偏刚度	Cˉar\bar{C}_{ar}Cˉar	后轮胎的线性侧偏刚度
mmm	车体质量	IzI_zIz	车辆绕zzz轴的转动惯量	lfl_flf	质心到前轴的距离
ClfC_{lf}Clf	前轮胎的纵向侧偏刚度	ClrC_{lr}Clr	后轮胎的纵向侧偏刚度	lrl_rlr	质心到后轴的距离

在该系统中，状态量为 ξ˙dyn=[y˙,x˙,φ,φ˙,Y,X]T\dot{\xi}_{dyn} = [\dot{y},\ \dot{x},\ \varphi, \ \dot{\varphi}, \ Y, \ X]^Tξ˙dyn=[y˙, x˙, φ, φ˙, Y, X]T，控制量为 udyn=δfu_{dyn}=\delta_fudyn=δf

谢谢

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