蓝桥杯-蓝跳跳（矩阵快速幂 70%数据）

题目描述

小蓝制作了一个机器人，取名为蓝跳跳，因为这个机器人走路的时候基本靠跳跃。

蓝跳跳可以跳着走，也可以掉头。蓝跳跳每步跳的距离都必须是整数，每步可以跳不超过 k 的长度。由于蓝跳跳的平衡性设计得不太好，如果连续两次都是跳跃，而且两次跳跃的距离都至少是 p，则蓝跳跳会摔倒，这是小蓝不愿意看到的。

小蓝接到一个特别的任务，要在一个长为 L 舞台上展示蓝跳跳。小蓝要控制蓝跳跳从舞台的左边走到右边，然后掉头，然后从右边走到左边，然后掉头，然后再从左边走到右边，然后掉头，再从右边走到左边，然后掉头，如此往复。

为了让观者不至于太无趣，小蓝决定让蓝跳跳每次用不同的方式来走。小蓝将蓝跳跳每一步跳的距离记录下来，按顺序排成一列，显然这一列数每个都不超过 k 且和是 L。这样走一趟就会出来一列数。如果两列数的长度不同，或者两列数中存在一个位置数值不同，就认为是不同的方案。

请问蓝跳跳在不摔倒的前提下，有多少种不同的方案从舞台一边走到另一边。

输入描述

输入一行包含三个整数 k, p, L。

其中， 1 ≤ p ≤ k ≤ 1000 ， 1 ≤ L ≤ 1 0 18 1 ≤ p ≤ k ≤ 1000，1 ≤ L ≤ 10^{18} 1≤p≤k≤1000，1≤L≤1018 。

输出描述

输出一个整数，表示答案。答案可能很大，请输出答案除以 20201114的余数。

思路

由于L的范围直接dp即使可以根据循环减小空间，但时间必然是会超过的，于是想到矩阵快速幂。
F [ i ] [ 0 ] : 一共跳了 i 个单位的距离，且当前这一跳小于 p F [ i ] [ 1 ] : 一共跳了 i 个单位的距离，且当前这一跳大于等于 p F [ i ] [ 0 ] = F [ j ] [ 0 ] + F [ j ] [ 1 ] j ∈ [ i − p + 1 , i − 1 ] F [ i ] [ 1 ] = F [ j ] [ 0 ] j ∈ [ i − k , i − p ] F[i][0]:一共跳了i个单位的距离，且当前这一跳小于p \\ F[i][1]:一共跳了i个单位的距离，且当前这一跳大于等于p\\ F[i][0] = F[j][0] + F[j][1] ~~~ j \in{[i-p+1,i-1]}\\ F[i][1] = F[j][0] ~~~j\in[i-k,i-p] F[i][0]:一共跳了i个单位的距离，且当前这一跳小于pF[i][1]:一共跳了i个单位的距离，且当前这一跳大于等于pF[i][0]=F[j][0]+F[j][1] j∈[i−p+1,i−1]F[i][1]=F[j][0] j∈[i−k,i−p]
所以可以列出矩阵，以k= 5 ,p = 3 为例:
∣ F [ i ] [ 1 ] F [ i ] [ 0 ] F [ i − 1 ] [ 1 ] F [ i − 1 ] [ 0 ] F [ i − 2 ] [ 1 ] F [ i − 2 ] [ 0 ] F [ i − 3 ] [ 1 ] F [ i − 3 ] [ 0 ] F [ i − 4 ] [ 1 ] F [ i − 4 ] [ 0 ] ∣ = ∣ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ∣ ∣ F [ i − 1 ] [ 1 ] F [ i − 1 ] [ 0 ] F [ i − 2 ] [ 1 ] F [ i − 2 ] [ 0 ] F [ i − 3 ] [ 1 ] F [ i − 3 ] [ 0 ] F [ i − 4 ] [ 1 ] F [ i − 4 ] [ 0 ] F [ i − 5 ] [ 1 ] F [ i − 5 ] [ 0 ] ∣ \begin{vmatrix} F[i][1]\\ F[i][0]\\ F[i-1][1]\\ F[i-1][0]\\ F[i-2][1]\\ F[i-2][0]\\ F[i-3][1]\\ F[i-3][0]\\ F[i-4][1]\\ F[i-4][0]\\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} F[i-1][1]\\ F[i-1][0]\\ F[i-2][1]\\ F[i-2][0]\\ F[i-3][1]\\ F[i-3][0]\\ F[i-4][1]\\ F[i-4][0]\\ F[i-5][1]\\ F[i-5][0]\\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣F[i][1]F[i][0]F[i−1][1]F[i−1][0]F[i−2][1]F[i−2][0]F[i−3][1]F[i−3][0]F[i−4][1]F[i−4][0]∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0110000000010100000001001000000100010000000000100010000001000000000010100000000100000000001000000000∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣F[i−1][1]F[i−1][0]F[i−2][1]F[i−2][0]F[i−3][1]F[i−3][0]F[i−4][1]F[i−4][0]F[i−5][1]F[i−5][0]∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

代码（70%数据）

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 2e3 ;
typedef long long ll;
const ll mod = 20201114;
ll f[1005][2];
ll p,k,l;
ll A[N];
ll B[N][N];
ll tmp1[N],tmp2[N][N];
void multi(ll B[N][N], ll A[N] , ll C[N])
{memset(tmp1,0,sizeof(tmp1));for(int i = 0 ; i < k << 1 ; i ++){for(int j = 0 ; j < k << 1; j ++){tmp1[i] = (tmp1[i] + B[i][j] * A[j] % mod ) % mod;}}memcpy(C,tmp1,sizeof(tmp1));
}void multi(ll A[N][N] , ll B[N][N] , ll C[N][N])
{memset(tmp2,0,sizeof(tmp2));for(int i = 0 ; i < k << 1 ; i ++)for(int j = 0 ; j < k << 1 ; j ++)for(int m = 0 ; m < k << 1 ; m ++)tmp2[i][j] = (tmp2[i][j] + A[i][m] * B[m][j] % mod) % mod;memcpy(C,tmp2,sizeof(tmp2));
}void print(ll A[N])
{for(int i = 0 ; i < k << 1 ; i ++)printf("%lld " , A[i]);puts("");
}void print(ll A[N][N])
{for(int i = 0 ; i < k << 1 ; i ++){for(int j = 0 ; j < k << 1 ; j ++)printf("%lld ",A[i][j]);puts("");}
}int main()
{cin>>k>>p>>l;f[0][0] = 1;for(int i = 1 ; i <= k ; i ++){for(int j = 1 ; j < p  && j <= i; j ++){f[i][0] = (f[i][0] + (f[i-j][0] + f[i-j][1]) % mod ) % mod;}for(int j = p ; j <= k && j <= i; j ++){f[i][1] = (f[i][1] + f[i-j][0]) % mod;}}if(l <= k){cout<<(f[l][0] + f[l][1])%mod;return 0;}for(int i = 0 ; i < k ; i ++){A[i<<1]   = f[k-i][1]; A[i<<1|1] = f[k-i][0];}for(int i = (k<<1) -1 ; i >= (p<<1) - 1 ; i -= 2)B[0][i] = 1;for(int i = 0 ; i < (p - 1)<<1 ; i ++)B[1][i] = 1;for(int i = 2 ; i < k << 1 ; i ++)B[i][i-2] = 1;l -= k;while(l){if(l & 1)multi(B,A,A);l >>= 1;multi(B,B,B);}printf("%lld\n",(A[0] + A[1]) % mod);return 0;
}