动态规划(dynamic programming)简称DP。

一，重叠子问题、最优子结构

1，斐波那契数列

2，求数列中位数

3，数列的DP问题

4，最短路问题

二，问题本身的固有属性决定数据结构和算法

1，数据结构

2，算法——指针滑动和动态规划

三，空间压缩

四，问题的形式化描述

五，二维DP

一，重叠子问题、最优子结构

先看几个简单的问题：

1，斐波那契数列

1,1,2,3,5,8......

求第n项

int fac(int n)
{if(n<3)return 1;return fac(n-1)+fac(n-2);
}

时间复杂度O (1.6 ^ n)

递归写法（备忘录法）：

int ans[1000]={0};
int fac(int n)
{if(n<3)return 1;if(ans[n])return ans[n];return ans[n]=fac(n-2)+fac(n-1);
}

非递归写法：

int ans[1000]={0,1,1};
int fac(int n)
{for(int i=3;i<=n;i++)ans[i]=ans[i-1]+ans[i-2];return ans[n];
}

递归写法不需要控制DP的计算顺序，非递归写法需要严格控制计算顺序。

读者可此处思考一下上述递归写法的实际计算顺序，假设编译器是默认先执行加法左边的，再执行加法右边的。

两种写法的时间复杂度都是O（n）

为什么差异这么大？

这就是DP的第一个重要特性：重叠子问题

2，求数列中位数

这个题，能不能像上一题这么做呢？

如果我用f(n)表示数列前n个数的中位数，那么，由f(n-1)和f(n-2)可以直接推导出f(n)吗？

不能！

差异在哪？差异在于问题本身的性质不同。

这种由子问题的答案可以直接推导出原问题答案的性质，其实就是最优子结构。

最优子结构：问题的最优解包含了子问题的最优解。

再来看看一个动态规划的题目，当我们分析它的时候，我们在想些什么？

3，数列的DP问题

一维

力扣 OJ 300. 最长上升子序列

力扣OJ 1218. 最长定差子序列

二维

力扣 OJ 1143. 最长公共子序列

CSU - 1060 Nearest Sequence （三个数组的最长公共子序列）

4，最短路问题

动态规划的题目，当我们分析它的时候，主要就是：

问题研究的对象、问题的子问题、最优子结构（即递推式）、解空间结构

递归写法和非递归写法其实都是解空间的遍历，而绝大部分问题的解空间都可以映射为树空间，树的遍历主要就是DFS和BFS，递归基本上就是DFS。

什么是解空间结构？

解空间就是问题可能的解组成的集合，根据问题的属性，空间的结构也有不同，有的是数组有的是树等等。

按照问题研究的对象类型和解空间结构，DP问题可以分为数列DP、区间DP、树形DP、数位DP、状态压缩DP、概率与期望DP、高维DP等等。

DP的更深用法：

空间压缩、时间优化

二，问题本身的固有属性决定数据结构和算法

1，数据结构

数据结构不仅取决于问题研究的对象本身的数据结构，也取决于在这个对象上，我们需要什么样的形式的一个答案。

例如：力扣OJ 740. 删除与获得点数

同样是数组，我们可以寻求很多种不同形式不同结构的答案。

常规的是一种基于顺序的，或者基于子序列的答案，而本题是基于数值的。

也就是说，我们访问了一个元素之后，要立即删除和他数值隔1的那些数，这个当然不能总靠暴力枚举了，

对于这样的一种形式的问题，我们的数据结构也就需要按照数值来排序，

而实现此目的的方式主要有两种，一种是基于数值的排序，比如快速排序，比如sort函数，一种是基于数值的排序，比如计数排序。

我在力扣OJ 740. 删除与获得点数中使用的是计数，因为题目规定了每个数不超过10000

2，算法——指针滑动和动态规划

为什么力扣OJ 1248. 统计「优美子数组」是指针滑动，而力扣OJ 1218. 最长定差子序列不是呢？

依然是由问题的形式决定的。

前者，连续子数组中恰好有 k 个奇数数字，我们就认为这个子数组是「优美子数组」，这个题目探讨的对象是连续的一段，

后者，等差子序列是一种基于数值的定义，我们不知道能构成等差数列的下一个数在哪，我们只知道这个数是多少。

三，空间压缩

动态规划的空间压缩，本质上就是用时间取代空间的其中一维，使得空间复杂度降低，但时间复杂度不变。

具体来说，空间压缩就是，在同一个空间位置，不停刷新值，随着时间的推移，他的含义一直在变化，而他的值一直是对应他的含义。

首先举个最简单的例子感受一下：

求斐波那契数列的第1000项

int ans[1005]={0,1,1};
for(int i=3;i<=1000;i++)ans[i]=ans[i-1]+ans[i-2];

时间复杂度和空间复杂度都是O（n）

而空间压缩的写法：

int a=1,b=1,c;
for(int i=3;i<=1000;i++)c=a+b,a=b,b=c;

这里的a和b就是表示，在我们的计算过程中的斐波那契数列的最后两项的值，随着计算的不断进行，a和b到底是对应哪2个数是一直在变化的。

更常规的例子是二维或者二维以上的DP，使用空间压缩可以降低一个维度。

例如：

力扣 OJ 1223. 掷骰子模拟力扣OJ（1001-1400）_nameofcsdn的博客-CSDN博客

HDU - 1244 Max Sum Plus Plus Plus 数列DP_nameofcsdn的博客-CSDN博客

CSU 1899: Yuelu Scenes 高维DP_nameofcsdn的博客-CSDN博客

四，问题的形式化描述

动态规划的核心在于分析最优子结构，其中包含如下内容：

如何描述问题，如何描述子问题，问题的解和子问题的解之间的关系，即递推式，问题的解空间结构，如何遍历这个解空间，等等。

问题的描述形式，取决于我们所求的答案的形式和结构.

个人理解主要分三种情形：

（1）完全按照题目所求来描述

（2）基于答案分解，附加特殊规则的精确化描述

（3）自带空间压缩的降维描述

对于问题本身的描述很复杂的题目，我们的描述越精确，我们的递推式也就越简洁。

例如：

(1)完全按照题目所求来描述

例1：力扣 OJ 1143. 最长公共子序列

f(a,b)表示数组A的前a个数和数组B的前b个数的最长公共子序列

（2）基于答案分解，附加特殊规则的精确化描述

什么叫基于答案分解呢？

要求前n个数的最长上升子序列，我们可以把答案分解为n种情况：

以第i个数（i从1到n）为结尾的最长上升子序列

例2：力扣 OJ 300. 最长上升子序列

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

f(i)表示以第i个数结尾的最长上升子序列的长度

f(i-1)表示以第i-1个数结尾的最长上升子序列的长度

所以f(i)=max{f(j) | j<i && num[j]<num[i]}

例3：CSU 1225: ACM小组的队列（最长上升子序列的个数）

这个题目需要把以第i个数结尾的最长上升子序列的长度和数目一起算出来。

PS：完全按照题目所求来描述，求得的值就是答案，

基于答案分解，附加特殊规则的精确化描述，求得值之后，还要在所有值里面取一个最优解

PS：基于答案分解是根据答案的最后一个值，分解成很多情况，得到的是分解问题，形式和原问题不同

而子问题是形式和原问题相同，但规模比原问题小，是原问题经过分治思想得到的。

（3）自带空间压缩的降维描述

首先，什么是空间压缩？

ACM总结——动态规划（3）空间压缩 https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/106507259

再看看什么叫自带空间压缩的降维描述：

例4：力扣OJ 1218. 最长定差子序列

给定差值dif，求最长等差子序列

如果数组没有重复的数，那就简单，ans[arr[i]]=ans[arr[i]-dif]+1

如果有重复的数，那么相同的数如何选取？

自然是取第i个数之前，等于arr[i]-dif且ans值最大的那个，但是如果搜索的话就会超时，必须在O（1）的时间内找到这个数或者找到它的ans值。

所以我们除了需要知道ans[arr[i]]表示以第i个数结尾的最长等差子序列之外，还需要确定，ans[x]表示啥？

ans[x]=ans[arr[j]]，其中j=max{j | arr[j]=x，j<i}

没错，这么一个精准的形式化描述，让我们意识到，ans[x]的含义中包含了i这个变量，也就是说ans数组的值的含义是随着时间一直在变化的，这其实是隐含了空间压缩。

五，二维DP

因为最近在写DP总结系列，所以选了一个二维DP的题目，把各种代码都写了一遍，并在此进一步探索。

力扣OJ 63. 不同路径 II （二维DP）https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/113124721

这里面的4个代码，涉及到递归和非递归、非递归的不同顺序、空间压缩。

第一个问题来了，非递归写法有没有空间压缩写法呢？

以题目中的数据和我的递归算法为例

输入:
[
  [0,0,0],
  [0,1,0],
  [0,0,0]
]

int dp(vector<vector<int>>& obs,int x,int y)
{if(x<0||x>=obs.size()||y<0||y>=obs[0].size()||obs[x][y])return 0;if(ans[x][y])return ans[x][y];return ans[x][y]=dp(obs,x,y-1)+dp(obs,x-1,y);
}

首先看看递归写法的调用过程：

可以发现，这棵树其实是一个斜着的矩形，而这个矩形和输入的矩形obs是对应的。

然后，我们看看dp函数实际被调用的过程：

class Solution {
public:vector<vector<int>>ans;int dp(vector<vector<int>>& obs,int x,int y){cout<<x<<" "<<y<<"    ";if(x<0||x>=obs.size()||y<0||y>=obs[0].size()||obs[x][y])return 0;if(ans[x][y])return ans[x][y];return ans[x][y]=dp(obs,x,y-1)+dp(obs,x-1,y);}int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {ans=obstacleGrid;for(int i=0;i<ans.size();i++)for(int j=0;j<ans[0].size();j++)ans[i][j]=0;ans[0][0]=1;return dp(obstacleGrid,obstacleGrid.size()-1,obstacleGrid[0].size()-1);}
};int main()
{vector<int>v1;v1.push_back(0);v1.push_back(0);v1.push_back(0);vector<vector<int>>obs;obs.push_back(v1);obs.push_back(v1);obs.push_back(v1);obs[1][1]=1;Solution s;cout<<s.uniquePathsWithObstacles(obs);return 0;
}

输出：

2 2 2 1 2 0 2 -1 1 0 1 -1 0 0 1 1 1 2 1 1 0 2 0 1 0 0 -1 1 -1 2 2

把-1去掉，得到：

2 2 2 1 2 0 1 0 0 0 1 1 1 2 1 1 0 2 0 1 0 0

用同样的方法，如果输入的是

[
  [0,0,0],
  [0,1,0],
  [0,0,0]
]

那么递归的实际执行过程就是

2 2 2 1 2 0 2 -1 1 0 1 -1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 -1 1 1 2 1 1 0 2 0 1 -1 2 6

把-1去掉，得到：

2 2 2 1 2 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 2 1 1 0 2 0 1

不难看出来，这就是DFS

总结：

1，递归程序都是基于栈的。

2，DFS是基于栈的，BFS是基于队列的。

3，动态规划的问题，解空间都可以映射为树。

4，动态规划的递归程序，是对解空间的DFS。

ACM总结——动态规划相关推荐

ACM题解——动态规划专题——G天上掉馅饼
ACM题解--动态规划专题--G.天上掉馅饼题目描述都说天上不会掉馅饼,但有一天gameboy正走在回家的小径上,忽然天上掉下大把大把的馅饼.说来gameboy的人品实在是太好了,这馅饼别处都不掉 ...
ACM：动态规划，01背包问题
题目: 有n件物品和一个容量为C的背包.(每种物品均仅仅有一件)第i件物品的体积是v[i],重量是w[i].选一些物品装到这个背包中,使得背包内物品在整体积不超过C的前提下重量尽量大. 解法:两种思路 ...
ubuntu支持中文设置
http://blog.csdn.net/huixisheng/archive/2010/09/14/5882555.aspx 首页资讯研发移动云计算空间学生论坛博客下载网摘程序 ...
【算法竞赛学习笔记】状压DP
title : 状压DP date : 2022-3-5 tags : ACM,图论,动态规划 author : Linno 状压DP 状态压缩,是利用二进制数的性质对问题进行优化的一种算法,经常与搜 ...
网内计算：可编程数据平面和技术特定应用综述
网内计算:可编程数据平面和技术特定应用综述摘要--与云计算相比,边缘计算提供了更靠近终端设备的处理,降低了用户体验的延迟.最新的In-Network Computing范例采用可编程网络元素在数据达 ...
【DP专辑】ACM动态规划总结
转载请注明出处,谢谢. http://blog.csdn.net/cc_again?viewmode=list ---------- Accagain 2014年5月15日 ...
ACM 动态规划（简称dp) 分类
转载自: http://blog.csdn.net/cc_again?viewmode=list ---------- Accagain 2014年5月15日动态规划博客地 ...
ACM杂题——动态规划_背包问题
ACM杂题K - I NEED A OFFER!--动态规划_背包问题优化解法题目描述 Speakless很早就想出国,现在他已经考完了所有需要的考试,准备了所有要准备的材料,于是,便需要去申请学校 ...
ACM学习历程—HDU5586 Sum（动态规划）(BestCoder Round #64 (div.2) 1002)
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5586 题目大意就是把一段序列里面的数替换成f(x),然后让总和最大. 首先可以计算出初始的总和,以及每 ...

ACM总结——动态规划

一，重叠子问题、最优子结构

1，斐波那契数列

2，求数列中位数

3，数列的DP问题

4，最短路问题

二，问题本身的固有属性决定数据结构和算法

1，数据结构

2，算法——指针滑动和动态规划

三，空间压缩

四，问题的形式化描述

五，二维DP

ACM总结——动态规划相关推荐

最新文章

热门文章