【P5253】丢番图【数论，数学】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P5253
给出nnn,求1x+1y=1n\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}x1+y1=n1本质不同的解。

思路：

和樱花那道题基本一样，所以很快就推出来了。

通分
xyx+y=n\frac{xy}{x+y}=nx+yxy=n
移项
−n(x+y)+xy=0-n(x+y)+xy=0−n(x+y)+xy=0
配方
n2−n(x+y)+xy=n2n^2-n(x+y)+xy=n^2n2−n(x+y)+xy=n2
(n−x)(n−y)=n2(n-x)(n-y)=n^2(n−x)(n−y)=n2
所以如果我们n2n^2n2分解质因数即可。然后两两配对。
若n=c1p1×c2p2×...×cnpnn=c_1^{p_1}\times c_2^{p_2}\times ...\times c_n^{p_n}n=c1p1×c2p2×...×cnpn，则n=c12p1×c22p2×...×cn2pnn=c_1^{2p_1}\times c_2^{2p_2}\times ...\times c_n^{2p_n}n=c12p1×c22p2×...×cn2pn
时间复杂度O(n)O(\sqrt{n})O(n)

代码：

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;const int N=1e7+10;
ll n,tot,ans,c[N];int main()
{scanf("%lld",&n);for (ll i=2;i*i<=n;i++)if (!(n%i)){tot++;for (;!(n%i);n/=i)c[tot]++;}if (n>1) c[++tot]++;ans=1;for (int i=1;i<=tot;i++)ans*=(c[i]*2+1);printf("%lld",(ans+1)/2LL);return 0;
}

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