CF855G. Harry Vs Voldemort

Solution

考虑每增加一条边都会把路径上的边双都连成一个大边双，考虑合并xxx和y=faxy = fa_xy=fax 这两个边双的贡献，分类讨论：

选取三个同边双内的点。
选取在同一个边双内选两个点，剩下一个在其他边双内。
选取三个来自不同边双的点。

第一个的贡献即为Aszx3A_{sz_x}^3Aszx3
第二个的贡献即为2Aszx2(n−szx)2A_{sz_x}^2(n - sz_x)2Aszx2(n−szx)
第三个比较麻烦：

首先我们去掉在一二两种中重复的部分，这部分可能是(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)，(y,x,z)(y,x,z)(y,x,z)，(z,x,y)(z,x,y)(z,x,y)，(z,y,x)(z,y,x)(z,y,x)。
然后我们发现合并(x,y)(x,y)(x,y)之后，就可以从本来xxx子树中的点ppp开始走到yyy再回走到xxx的另一个子树中的点qqq，即(p,y,q)(p,y,q)(p,y,q)和(q,y,p)(q,y,p)(q,y,p)都可以选择，这一部分是新多出来的，这部分相当于xxx的不同子树内的点对两两可达，于是我们再维护一个hx=∑yszy2h_x = \sum_{y}sz_y^2hx=∑yszy2即可快速统计贡献。（对于yyy这一部分的贡献同理）

具体统计方法见CodeCodeCode。

并查集维护边双联通分量即可，时间复杂度O(nlgn)O(nlgn)O(nlgn)。

Code

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;template<typename T> inline bool upmin(T &x, T y) { return y < x ? x = y, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool upmax(T &x, T y) { return x < y ? x = y, 1 : 0; }#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second
#define int lltypedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int, int> PR;
typedef vector<int> VI; const lod eps = 1e-11;
const lod pi = acos(-1);
const int mods = 998244353;
const int oo = 1 << 30;
const ll loo = 1ll << 62;
const int MAXN = 600005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read() {int f = 1, x = 0; char c = getchar();while (c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = getchar(); }while (c >= '0' && c <= '9') { x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48); c = getchar(); }return x * f;
}
vector<int> e[MAXN];
int fa[MAXN], f[MAXN], dep[MAXN];
ll sz[MAXN], num[MAXN], g[MAXN], h[MAXN], ans = 0, n;
int find(int x) { return f[x] == x ? f[x] : f[x] = find(f[x]); }
void dfs(int x, int father) {sz[x] = 0, fa[x] = father, dep[x] = dep[father] + 1;for (auto v : e[x]) if (v != father) dfs(v, x);for (auto v : e[x]) {if (v == father) continue;ans += sz[x] * sz[v] * 2;g[x] += g[v] + sz[v];h[x] += sz[v] * sz[v];sz[x] += sz[v]; }++ sz[x];h[x] += (n - sz[x]) * (n - sz[x]);ans += (n - sz[x]) * (sz[x] - 1) * 2;
}
void merge(int x, int y) {ans -= num[x] * (num[x] - 1) * (num[x] - 2); //part 1 xans -= num[y] * (num[y] - 1) * (num[y] - 2); //part 1 yans -= num[x] * (num[x] - 1) * (n - num[x]) * 2; //part 2 xans -= num[y] * (num[y] - 1) * (n - num[y]) * 2; //part 2 yans -= (sz[x] - num[x]) * num[x] * num[y] * 2 + (n - sz[x] - num[y]) * num[x] * num[y] * 2; //part 3.1ans += num[y] * ((sz[x] - num[x]) * (sz[x] - num[x]) - (h[x] - (n - sz[x]) * (n - sz[x]))); //part 3.2 xans += num[x] * ((n - sz[x] - num[y]) * (n - sz[x] - num[y]) - (h[y] - sz[x] * sz[x])); //part 3.2 yf[x] = y, num[y] += num[x], h[y] += h[x] - sz[x] * sz[x] - (n - sz[x]) * (n - sz[x]);ans += num[y] * (num[y] - 1) * (num[y] - 2); //part 1 new ans += num[y] * (num[y] - 1) * (n - num[y]) * 2; //part 2 new
}
signed main() {n = read();for (int i = 1, u, v; i < n ; ++ i) u = read(), v = read(), e[u].PB(v), e[v].PB(u);for (int i = 1; i <= n ; ++ i) f[i] = i, num[i] = 1;dfs(1, 0);printf("%lld\n", ans);int Case = read();while (Case --) {int u = read(), v = read(), U = find(u), V = find(v);while (U != V) {if (dep[U] < dep[V]) swap(U, V);merge(U, find(fa[U]));U = find(U);}  printf("%lld\n", ans);}return 0;
}

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