如何判断关系是否自反,反自反,对称,反对称,传递

首先，求出关系的关系矩阵，即布尔逻辑0、1矩阵。

例如，集合A={1,2,5,8,12,16} R是整除关系。

那么我们写成关系矩阵。

关系矩阵 M=

1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

R={<1,1>,<1,2>,<1,5>,<1,8>,<1,12>,<1,16>,<2,2>,<2,8>,<2,12>,<2,16>,<5,5>,<8,8>,<8,16>,<12,12>,<16,16>}
这时，我们要判断是否为自反关系，只需检查关系矩阵

对角线上的元素是否全为1。

全为1则关系是自反关系；

不全为1（只要对角线上有1个0），则不是自反关系。

显然，整除关系是自反的。
要判断是否为反自反关系，同样只需检查关系矩阵上的元素是否全为0

值得注意的是，如果集合A非空，则空关系满足反自反，不满足自反关系。

但集合A为空集，则空关系满足自反关系，也满足反自反。

从中我们可以看出，关系有可能既是自反关系，又是反自反关系。

同样，关系有可能不是自反关系，也不是反自反关系。

这一点值得注意。
接下来，我们来看如何判断关系的对称性。

只需检查关系矩阵的主对角线两侧的元素，是否一一对应，保持一致即可。

显然，整除关系不是对称关系。
如何判断关系是反对称关系呢？

同样检查关系矩阵的主对角线两侧的元素，是否一一对应，保持互补（有1的地方，对角线另一侧的位置的元素为0）即可。

显然，整除关系是反对称关系。

注意，对称关系与反对称关系是互斥的，两者只能最多出现一种情况。

而不像自反与反自反可以同时满足。
下面来看如何通过关系矩阵，判断是否是传递关系。

传递关系，在关系矩阵不能一眼直接看出，但是同样可以按照步骤来检查。

方法是：

按从上到下，从左到右，逐一检查某行（例如a行）非对角线上的1元素，

定位到该1元素所在列，所对应的关系矩阵行，

检查该行所有的1元素（或只检查非对角线上的1元素），

将这些1元素所在列的a行元素找出，判断是否都为1

都为1则，是传递关系；

但只要出现1个0，则不是传递关系。

显然，整除关系满足传递性。

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