离散数学10__第5章关系与函数_关系的性质

一关系的定义

设A、 B是任意两个集合， A x B 的子集R称为从A到B的二元关系，简称为关系。

特别地，当A=B时，称R为A上的关系。如果<x, y> ∈ R,可记为xRy, 称x与y有关系R;

如果<x, y>R，则记为 , 称 x与y没有关系R。

二定义域，值域，域的定义

设R是集合A上的二元关系，

（1）R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域，记为，表示为

;

(2) R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域，记为 ,表示为

；

（3）R的定义域和值域的并集称为R的域，记为

三小于等于关系LE 和整除关系D

例：设A={-2, 0,3, 6}, 求A上的小于等于关系和 A上的整除关系.

解: 小于等于关系定义为: LEᴀ = {<x, y> | x ∈A ∧y ∈A ∧ x ≤ y }, 则

={<-2, -2>, <-2, 0>, <-2, 3>, <-2, 6>, <0, 0 >, <0, 3>, <0, 6>, <3, 3>, <3, 6>, <6,6>}.

整除关系定义为: Dᴀ = {<x, y> | x ∈A ∧y ∈A ∧ y/x ∈ Z }，则

Dᴀ = {<-2, -2>, <-2, 0>, <-2, 6>, <3, 0>, <3, 3>, <3, 6>, <6, 0>, <6, 6> }。

四关系的性质

自反性
反自反性
对称性
反对称性
传递性

4.1 自反性：

设R是集合A上的一个关系，如果对A中的每一个元素x, 均有(x, x) ∈ R，则称R是自反关系，即 R是自反的 ⇔ ∀x(x∈A →x, x) ∈R).

例如：正整数集合上的整除关系 (正整数总能被自己整除)，相等关系等都是自反的关系。整数集合上的大于关系，小于关系等都不是自反的关系。

分析：由于(1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) 都属于R, 所以是自反关系。

每个元素都跟自身相关，关系图里都形成自环。

4.2 反自反关系：

设R是集合A上的一个关系，如果对A中的每一个元素x, 均有(x, x) ∉ R，则称R是反自反关系，即 R是反自反的 ⇔ ∀x(x∈A →x, x) ∉ R).

例如：正整数集合上的大于关系，小于关系等都是反自反的关系。整数集合上的整除关系，大于等于关系等都不是反自反的关系。

看一个例子:

分析： S的关系图有一个自环，说明不是反自反关系，又因为1，3，4 没有自环，所以不是自反关系。

自反性和反自反性

1. 如果关系R是自反的，则一定不是反自反的，反之亦然。

2. 如果关系R不是自反的，则不一定就是反自反的，反之亦然。也就是存在既不是自反也不是反自反的关系。

3. 如果关系R是自反的，当且仅当R的关系图中每个结点都有环；如果关系R是反自反的，当且仅当R的关系图中每个结点都没有环。

4.如果关系R是自反的，当且仅当R的关系矩阵中主对角线上都为1, 如果关系R是反自反的，当且仅当R的关系矩阵中主对角线上都为0.

4.3 对称关系

设R是集合A上的一个关系，如果对A中的每一个元素x和元素y, 如有(x, y) ∈ R，必有(y, x)∈R, 则称R是对称关系，即 R是对称的 ⇔ ∀x∀y (x∈A ∧ y∈A ∧(x, y) ∈ R → (y, x) ∉ R)
例如：整数集合上的等于关系，任意集合上的全域关系，同学关系，朋友关系等都是对称的。

4.4 反对称关系

看一个例子：

分析：这里除了(2, 2)之外，其他都不相等，所以是反对称关系

再看一个例子：

从这个例子可以看出，有些关系既不是对称关系，也不是反对称关系。

对称性和反对称性

对称性和反对称性的概念不是对立的，一个关系可以不具有对称性的同时也不具有反对称性，且存在既对称也反对称的关系。

4.5 传递关系

设R是集合A上的一个关系， x、y、z是A中的元素, 若(x, y) ∈ R 和 (y, z) ∈ R,

必有(x , z) ∈ R, 则称R是传递关系，

例如：实数集合上的大于关系，小于关系都是传递关系，同学关系、朋友关系等不一定是传递的。

五最后，总结一下5种关系的特点，如下图所示

我的总结：

1. 关系的传递性，会涉及到3个顶点，并且3个顶点都有边连接，则关系是传递的。

2. 关系的反对称性，两个顶点之间有边，并且是单方向的。

3. 主对角线是指从左上到右下的一条线！！！

六看例题

2019年10月真题

5. 下列关系矩阵对应的关系具有反自反性的是（）

解：反自反性，对应的矩阵的对角线都是0， A，B都不是,

容易看出 D是自反性。

本题答案是 C