积分形式的詹森不等式

詹森不等式(Jensen's inequality)，也译为延森不等式、琴生不等式

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詹森不等式简介

詹森不等式以丹麦数学家约翰·詹森(Johan Jensen)命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。

Jensen's inequality generalizes the statement that a secant line of a convex function lies above the graph.

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詹森不等式的一般形式

詹森不等式可以用测度论或概率论的语言给出。这两种方式都表明同一个很一般的结果。

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测度论的版本

假设μ是集合Ω的正测度，使得μ(Ω) = 1。若g是勒贝格可积的实值函数，而

是在g的值域上定义的凸函数，则

。

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概率论的版本

以概率论的名词，μ是个概率测度。函数g换作实值随机变量X(就纯数学而言，两者没有分别)。在Ω空间上，任何函数相对于概率测度μ的积分就成了期望值。这不等式就说，若

是任一凸函数，则

。

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詹森不等式的特例

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机率密度函数的形式

假设Ω是实数轴上的可测子集，而f(x)是非负函数，使得

。

以概率论的语言，f是个机率密度函数。

詹森不等式变成以下关于凸积分的命题：

若g是任一实值可测函数，φ在g的值域中是凸函数，则

。

若g(x) = x，则这形式的不等式简化成一个常用特例：

。

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有限形式

若Ω是有限集合

，而μ是Ω上的正规计数测度，则不等式的一般形式可以简单地用和式表示：

，

其中

。

若φ是凹函数，只需把不等式符号调转。

假设

是正实数，g(x) = x，λi = 1 / n及

。上述和式便成了

，

两边取自然指数就得出熟悉的平均数不等式：

。

这不等式也有无限项的离散形式。

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统计物理学

统计物理学中，若凸函数是指数函数，詹森不等式特别重要：

，

其中方括号表示期望值，是以随机变量X的某个概率分布算出。这个情形的证明很简单(参见Chandler, Sec. 5.5)：在以下等式的第三个指数函数

套用不等式

，

即得出所求的不等式。

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参考文献

Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. 0-07-054234-1. David Chandler. Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. 0-19-504277-8.

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