三自由度并联机构

1.运动学分析

目标物体由前后的电动缸进行控制，通过给定前后缸的伸缩长度，来控制目标的位置和姿态，实现目标物体的上下，前后，俯仰这三个自由度的运动。

机械机构如下图所示，左侧为前电动缸，右侧为后电动缸。

标出所需的量，设未知数如下图所示。设控制前电动缸长度为L_A，设控制后电动缸长度为L_B，在目标物体上的末端位置取一点设为（x0，y0）。通过以下公式可得末端位置的位姿：

对该执行机构的各部分设置未知参数对该执行机构的各部分设置未知参数对该执行机构的各部分设置未知参数

得到末端位置的数学公式

通过α与β计算出铰接点坐标(xa,ya)和滚轮圆心的坐标(xb,yb)再通过相似原理计算出并联机构与水平面的倾斜角γ和末端位置的坐标(x0,y0)

2.可行范围内的拟合

末端位置由A位置移动到B位置，有一个x方向和y方向上的差值，即Δx和Δy

根据末端位置的运动范围，将步数分为100个路径点，拟合得到系数a₁、b₁、a₂、b₂。

再由自变量Δx和Δy得到电动缸的伸缩量，即ΔL_A和ΔL_B

此时就可以通过x和y方向上的差值，得到电动缸的伸缩量。

3.代码实现

拟合路径得到系数

clear
clc
x=7100;
y=850;
xx=[];yy=[];cy1=[];cy2=[];
k=1;
n=101;
for i = 1:nx0 = x + 2 * (i-1);for j = 1:ny0 = y - 1 * (j-1);[ LA , LB , theta ] = cylength_inclinationangle ( x0 , y0 );xx(k)=x0;yy(k)=y0;cy1(k)=LA;cy2(k)=LB;theta1(k)=theta;k=k+1;end
end
cftool

以x的路径点为X轴，y的路径点为Y轴，拟合出 L_A 和 L_B 的系数

黑点为实际路径点，彩色平面为拟合路径点。由图像可知，大部分的黑点都在该平面上，因此拟合的效果较好。

以系数和自变量Δx、Δy得到缸长伸缩量

function [ deltaLA , deltaLB ] = Deviation_cylinder( deltax,deltay )% x、y要移动的距离deltax;deltay;%拟合曲线缸A长度的系数aA = -0.1507;bA = -0.02793 ;%-2.82e-14;%拟合曲线缸B长度的系数aB = 0.01158;bB = 0.1867;deltaLA = aA * deltax + bA* deltay;deltaLB = aB * deltax + bB* deltay;end

倾斜角变化

ii=[];jj=[];xx=[];yy=[];tt=[];la=[];lb=[];k=1;
for i = 1:51x0 = 7000 + 4*(i-1);for j=1:51y0 = 800 + 2*(j-1);[ LA , LB ,t1 ] = cylength_inclinationangle ( x0 , y0 );xx(k)=x0;yy(k)=y0;tt(k)=t1;la=LA;lb=LB;k=k+1;end
end
max1=max(abs(tt))
min1=min(abs(tt))
mac=max1-min1

得到倾斜角约等于 1° 的结果，因此在移动过程中不需要考虑末端姿态的调整。

逆解
输入A位置与B位置的坐标差值(x0,y0),得到两电动缸的长度和机构下底面对地的倾斜角。

function [ LA , LB , t ] = cylength_inclinationangle ( x0 , y0 )x0;y0;x1=0;y1=821;x2=600;y2=0;x3=1910;y3=666;x4=2196.8;y4=211;h = 200;l = 7000;L12=sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2);L34=sqrt((x3-x4)^2+(y3-y4)^2);%     gamma=atan(h/l);L1=sqrt(h^2+l^2);L2=1385;L3=350;L4=sqrt((x0-x1)^2+(y0-y1)^2);% Angle to store alpha series
%     alpha1=rad2deg(atan(abs(y0-y1)/(x0-x1)))
%     alpha2=rad2deg(atan(abs(y2-y1)/(x2-x1)))
%     alpha3=rad2deg(acos((L2^2+L4^2-L1^2)/(2*L2*L4)))
%     alpha=alpha1+alpha2+alpha3alpha1=atan(abs(y0-y1)/(x0-x1));alpha2=atan(abs(y2-y1)/(x2-x1));alpha3=acos((L2^2+L4^2-L1^2)/(2*L2*L4));alpha=alpha1+alpha2+alpha3;[ x7 , y7 ,t ] = cy3( x0 , y0 );% position fo B and angle of bridge%     L6=1370;
%     L7=1045;
%     L8=sqrt((x4-x7)^2+(y7-y4)^2);
%     beta=rad2deg(acos((L6^2+L34^2-L8^2)/(2*L6*L34)));L6=1370;L7=1045;L8=sqrt((x4-x7)^2+(y4-y7)^2);beta=acos((L6^2+L34^2-L8^2)/(2*L6*L34));    %ideal value of LA and LBLA=sqrt(L3^2+L12^2-2*L3*L12*cos(alpha));LB=sqrt(L34^2+L7^2-2*L34*L7*cos(beta));
%     LA=sqrt(L3^2+L12^2-2*L3*L12*cosd(alpha));
%     LB=sqrt(L34^2+L7^2-2*L34*L7*cosd(beta));end

其中，cy3代码如下。

function [ x7 , y7 , theta ]=cy3( x , y )%已知理想值的坐标，求滚轮圆心坐标x1=x;y1=y;x2=0;y2=821;x3=1910;y3=666;h=200;l=7000;r=100;L3=1370;L=sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2);L1=1385;L2=sqrt(h^2+l^2);phi=atan((y1-y2)/(x1-x2));gamma=acos((L1^2+L^2-L2^2)/(2*L1*L));x4=x2+L1*cos(gamma+phi);y4=y2+L1*sin(gamma+phi);alpha=atan(h / l);a=atan((y1-y4)/(x1-x4));a1 = a + alpha;x5=x1+r*sin(a1);y5=y1-r*cos(a1);ka=tan(a1);x6=(ka*x5-y5+y3+(x3/ka))/(ka+(1/ka));y6=ka*(x6-x5)+y5;L4=sqrt((x3-x6)^2+(y3-y6)^2);L5=sqrt(L3^2-L4^2);x7=x6+L5*cos(a1);y7=y6+L5*sin(a1);theta = rad2deg(a1);
end

正解

通过解出的电动缸长度，正解出机构末端的位置和姿态。

function [ x0 , y0 ,gamma4 ] = slove_coordinate( LA , LB )L1 = LA;L2 = LB;x1=0;y1=821;x2=600;y2=0;x3=1910;y3=666;x4=2196.8;y4=211;h = 200; l = 7000; r = 100;L12=sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2);L34=sqrt((x3-x4)^2+(y3-y4)^2);a1=350;a2=1385;b1=1045;b2=1370;alphaa = rad2deg(acos((L12^2+a1^2-L1^2)/(2*L12*a1)));alphaa1 = rad2deg(atan(abs(y2-y1)/abs(x2-x1)));alphaa2 = alphaa - alphaa1;xa = a2 * cosd(alphaa2) + x1;ya = a2 * sind(alphaa2) + y1;betaa = rad2deg(acos((L34^2+b1^2-L2^2)/(2*L34*b1)));betaa1 = rad2deg(atan(abs(y3-y4)/abs(x3-x4)));betaa2 = betaa - betaa1;xb = b2 * cosd(betaa2) + x3;yb = b2 * sind(betaa2) + y3;d1 = sqrt((xa-xb)^2+(ya-yb)^2);d12 = d1 / (1 + h / r);d11 = (h / r) * d12;l11 = sqrt( d11^2 - h^2 );gamma2 = rad2deg(acos((xb-xa) / d1));gamma3 = rad2deg(acos( l11 / d11 ));gamma4 =  gamma3 - gamma2 ;xh = xa + h * sind(gamma4);yh = ya - h * cosd(gamma4);x0 = xh + l * cosd(gamma4);y0 = yh + l * sind(gamma4);end

误差分析

clear;
clc;
%true position with idea position input
%The starting point
x0 = 7100;% 7217 7200
y0 = 950 ;% 840  750
%The initial distancedeltax =  100;
deltay = -110;
xi1 = x0 + deltax;% targrt x
yi1 = y0 + deltay;% target y
deltaxx = 0;
deltayy = -90;
xi2 = xi1 + deltaxx ;
yi2 = yi1 + deltayy ;
deltaxxx = deltax + deltaxx;
deltayyy = deltay + deltayy;%输入理想缸长得到的理想坐标
[ LAi0 , LBi0 ] = cylength_inclinationangle ( x0 , y0 );
[ xi00 , yi00 ] = slove_coordinate( LAi0 , LBi0 );[ LAi1 , LBi1 ] = cylength_inclinationangle ( xi1 , yi1 );
[ xi01 , yi01 ] = slove_coordinate( LAi1 , LBi1 );[ LAi2 , LBi2 ] = cylength_inclinationangle ( xi2 , yi2 );
[ xi02 , yi02 ] = slove_coordinate( LAi2 , LBi2 );%输入拟合缸长得到真实坐标
%第一步，移动到正上方
[ LAi0 , LBi0 ] = cylength_inclinationangle ( x0 , y0 );
LA = round( LAi0 ); LB = round( LBi0 );[ deltaLA , ~ ] = Deviation_cylinder( deltaxxx , deltayyy );
[ ~ , deltaLB ] = Deviation_cylinder( deltax , deltay );
LA1 = round( LA + deltaLA );
LB1 = round( LB + deltaLB );
[ x01 , y01 ] = slove_coordinate( LA1 , LB1 );
deltax1 = round( xi1 - x01 );
deltay1 = round( yi1 - y01 );
Error1=sqrt(deltax1^2 + deltay1^2);[ deltaLA1 , deltaLB1 ] = Deviation_cylinder( deltax1,deltay1 );
LA2 = round( LA1 + deltaLA1 );
LB2 = round( LB1 + deltaLB1 );
[ x02 , y02 ] = slove_coordinate( LA2 , LB2 );
deltax2 = round( xi1 - x02 )+2;
deltay2 = round( yi1 - y02 )+2;
Error2=sqrt(deltax2^2 + deltay2^2);% 第二步，实现位姿
deltax21 = 0 ; deltay21 = deltayy ;
[ ~ , deltaLB2 ] = Deviation_cylinder( deltax21,deltay21 );
LA3 = LA2 ;
LB3 =round ( LB2 + deltaLB2 );
[ x03 , y03 ] = slove_coordinate( LA3 , LB3 );
deltax3 = round (xi2 - x03 ) ; deltay3 = round ( yi2 - y03 ) ;
Error3=sqrt(deltax3^2 + deltay3^2);[ deltaLA3 , deltaLB3 ] = Deviation_cylinder( deltax3,deltay3 );
LA4 = LA3 ;
LB4 = round ( LB3 + deltaLB3 );
[ x04 , y04 ] = slove_coordinate( LA4 , LB4 );
deltax4 = round (xi2 - x04 ); deltay4 = round ( yi2 - y04 );
Error4 = sqrt(deltax4^2 + deltay4^2);

完整的代码如下：https://download.csdn.net/download/AlbertDS/12840033

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