科里奥利力的物理理解、推导与加速度变换

1、惯性系与加速度

2、速度变换

3、加速度变换与科氏加速度

4、科氏加速度的理解

① 加速度变换和速度变换是一脉相承的

②科氏加速度和向心加速度性质不同

③科氏加速度由两部分构成

④科氏加速度的直观感受

5、科里奥利力

科里奥利力，又称科氏力、哥氏力，是惯性力的一种。

$F=-2m \omega \times v'=2m v' \times \omega$

与之对应的是科氏加速度，是加速度转换中的一项。

$a=2\omega \times v'$

其中 $\omega$ 是非惯性系（动系）匀速旋转的恒定角速度， $v'$ 是物体相对于非惯性系（动系）的相对速度。

教材和网络上关于科氏力和科氏加速度的推导都很多，但大多是基于数学上速度求导得到这项加速度，并没有解释这项加速度的物理含义，再加上取了这么一个拗口的名字，让人很难对其有直观认识，总觉得是多余的一项。比如离心力 $F=-m\omega \times (\omega \times r)$ 和向心加速度 $a=\omega \times (\omega \times r)$ ,虽然也是数学公式推导而来，但是很符合日常生活中的常识——一个旋转的物体总是有向外甩的趋势，离心力由此得名。

为了讲清楚科里奥利力是怎么来的，有必要先介绍一些力学的常识：

1、惯性系与加速度

惯性系（inertial frame）是世界中绝对静止或者做匀速直线运动的参考系，也是牛顿第二定律 $F=ma$ 成立的坐标系。可见我们日常讨论的加速度都应该是相对于惯性系的，因为只有相对于惯性系的加速度才能被用于牛顿第二定律，才是我们觉得更有意义的加速度，我把它记作 $a|_i$ ，则牛顿第二定律表示为 $F=ma|_i$ 。其中 $x|_i$ 表示相对于参考系 $S_i$ 的矢量 $x$ ，也就是在参考系 $S_i$ 中测量的 $x$ 。

当然也有很多坐标系是非惯性系（non-inertial frame），比如相对于惯性系做加速平动的参考系，或者相对于惯性系做转动的参考系，或者两种运动兼而有之的参考系。如果惯性系被认为是静系，那这些非惯性系就可以看作动系。显然，相对于非惯性系的加速度 $a|_n$ 并不满足牛顿第二定律 $F \neq ma|_n$ ，因为 $a|_n \neq a|_i$ ，相对于非惯性系的加速度 $a|_n$ 显然没有考虑因为非惯性系加速平动或者转动而带来的牵连加速度。为了使得非惯性系下也能靠 $a|_n$ 来用牛顿第二定律，我们想要知道 $a|_i$ 和 $a|_n$ 之间的变换关系，即相对于惯性系（静系）的加速度和相对于非惯性系（动系）的加速度的转换关系，即动静系间的加速度变换问题。注意以下讨论的动静系变换不一定要是惯性系和非惯性系之间，只要是有相对平动或转动的两个参考系就行。

2、速度变换

加速度变换和速度变换有着类似之处，因此在讨论动静系间的加速度变换问题前，我们先看看速度变换，也就是著名的伽利略变换：

假设有静系 $S_i$ 和动系 $S_n$ ，静系原点到动系原点位置矢量为 $r_e$ ，有一个物体，它相对于静系原点的位矢为 $r|_i$ ，相对动系原点的位矢为 $r|_n$ 。显然有以下位置变换：

$r|_i = r_e + r|_n$

i）动系只有相对于静系速度为 $v_e$ 的平动，即 $\frac {dr_e}{dt} = v_e$ 。设物体相对于静系的速度为 $v|_i$ ，相对于动系的速度为 $v|_n$ ，以上位置变换相对时间 $t$ 求导，则这两个速度的变换关系如下：

$\frac {dr|_i}{dt} = \frac {dr_e}{dt} + \frac {dr|_n}{dt}$

$\Downarrow$

$v|_i = v_e + v|_n$

可见相对于静系的速度 $v|_i$ （也叫绝对速度）由两部分构成，一部分是动系相对于静系的速度 $v_e$ （也叫牵连速度），另一部分是物体相对于动系的速度 $v|_n$ （也叫相对速度）。即伽利略变换为

绝对速度 = 牵连速度 + 相对速度

注意以上速度变换只成立于动系相对静系只有平动的情况。

ii）如果动系相对于静系还有恒定的转动角速度 $\omega$ ，则显然还应加上一项由于动系转动引起的线速度 $v_l = \omega \times r|_n$ ，其中 $r|_n$ 是物体相对于动系的位置矢量。即动静系间的速度变换为：

$v|_i = v_e + v_l + v|_n$

其中线速度项 $v_l = \omega \times r|_n$ ，伽利略变换推广为：

绝对速度 = 牵连速度 + 线速度 + 相对速度

以下主要考虑动系只有匀速转动、没有平动的情况，即 $v_e = 0$ ，且取 $r_e =0 \Rightarrow r|_i = r|_n$ ，此时不再区分 $r|_i$ 和 $r|_n$ ，统一写为 $r$ 。此时，动静系间的速度变换简化为：

$v|_i = v_l + v|_n$

即

$v|_i = \omega \times r + v|_n$

速度其实就是位矢关于时间 $t$ 的导数，接着来看上面这个速度变换的公式，可以得到：

$\frac {d r}{dt} |_i = \omega \times r+ \frac {d r}{dt}| _n$

上式可以理解为：

“旋转且变化的矢量”相对于静系的变化率 = 动系旋转角速度 × 矢量 + 矢量相对于旋转动系的变化率

可见，矢量 $r$ 相对于静系 $S_i$ 的变化率 $\frac {dr}{dt} |_i$ 并不等于其相对旋转坐标系（动系） $S_n$ 的变化率 $\frac {dr}{dt} |_n$ ，还应加一项旋转角速度×该矢量。如果 $\omega=0$ ，即动系没有相对静系的旋转时（可以有相对平动，而矢量具有平移不变性，因此平动对矢量没有影响），矢量相对于静系的变化率 $\frac {dr}{dt} |_i$ 还是等于矢量相对于动系的变化率 $\frac {dr}{dt} |_n$ 的。这个结论不只适用于位置矢量，也可以推广到一般的矢量，比如速度矢量也是适用的，后面会看到加速度变换中就用到了类似的过程。

3、加速度变换与科氏加速度

类似地，设有静系 $S_i$ 和动系 $S_n$ .

i）动系只有相对于静系加速度为 $a_e=\frac{dv_e}{dt}|_i$ 的平动。有一个物体，设它相对于静系的加速度为 $a|_i = \frac {dv|_i}{dt} |_i$ ，相对于动系的加速度为 $a|_n = \frac {dv|_n}{dt} |_n$ ，则这两个加速度的变换可以由对速度变换求导得到：

$v|_i = v_e + v|_n$

$\Downarrow$

$\frac {dv|_i}{dt} |_i = \frac {d v_e}{dt} |_i + \frac {dv|_n}{dt} |_i$

$\Downarrow$

$\frac {dv|_i}{dt} |_i = \frac {d v_e}{dt} |_i + \frac {dv|_n}{dt} |_n$

$\Downarrow$

$a|_i = a_e + a|_n$

看起来也满足和速度变换类似的形式，即：

绝对加速度 = 牵连加速度 + 相对加速度

注意以上加速度变换只成立于动系相对静系只有平动的情况，只有在这种情况下，根据2中的讨论，由于动系 $S_n$ 没有相对于静系 $S_i$ 的旋转，才有 $\frac {dv|_n}{dt} |_i = \frac {dv|_n}{dt} |_n$ 成立。

ii）如果动系相对于静系还有恒定的转动角速度 $\omega$ ，则需要有以下改进：

① 以上求导基于的速度变换应加上线速度项 $v_l = \omega \times r|_n$ ，而且 $r|_n$ 带有 $\omega$ 角速度的牵连旋转。

$\frac {dr|_n}{dt}|_i = \omega \times r|_n + \frac {dr|_n}{dt} |_n = {\color{Green} \omega \times r|_n} + {\color{Blue} v|_n}$

② 相对于动系的速度矢量 $v|_n$ 也带有 $\omega$ 角速度的牵连旋转，因此对时间求导时应该用前文2中提到的旋转矢量求导公式，即：

$\frac {dv|_n}{dt} |_i= \omega \times v|_n +\frac {dv|_n}{dt} |_n = {\color{Red} \omega \times v|_n} + a|_n$

重新对速度变换中的速度矢量求导：

$v|_i = v_e + \omega \times r|_n + v|_n$

$\Downarrow$

$\frac {dv|_i}{dt} |_i = \frac {d v_e}{dt} |_i + \frac{d \omega \times r|_n}{dt} |_i + \frac {dv|_n}{dt} |_i$

$\Downarrow$

$a |_i = a_e + \omega \times \frac{d r|_n}{dt} |_i + \frac {dv|_n}{dt} |_i$

$\Downarrow$

$a |_i = a_e + \omega \times \left ( {\color{Green} \omega \times r|_n} +{\color{Blue} v|_n} \right ) + \left ( {\color{Red} \omega \times v|_n} + a|_n \right )$

$\Downarrow$

$a |_i = a_e + {\color{Green} \omega \times \left (\omega \times r|_n \right)} + {\color{Blue} \omega \times v|_n} + {\color{Red} \omega \times v|_n} + a|_n$

可见，相比于动系只有平动的情况，因为此时动系还有旋转角速度 $\omega$ ，动静系间的加速度转换多出了几项，其中 ${\color{Green} \omega \times \left (\omega \times r|_n \right)}$ 显然是向心加速度， ${\color{Blue} \omega \times v|_n} + {\color{Red} \omega \times v|_n}$ 就被叫做科里奥利加速度。

即当动系有相对于静系的加速平动和匀速转动时，动静系间的加速度变换为：

绝对加速度 = 牵连加速度 + 向心加速度 + 科里奥利加速度 + 相对加速度

4、科氏加速度的理解

以上仍然是严谨的求导数学推导，并没有说明科氏加速度是自然合理的。下面从几个方面说明科氏加速度的存在是合理的，符合直觉的：

① 加速度变换和速度变换是一脉相承的

以上推导可以看出，当动静系间没有旋转时，速度变换和加速度变换的形式均为：

绝对速度   = 牵连速度  +  相对速度
绝对加速度 = 牵连加速度 + 相对加速度

但是当动系相对于静系还有匀速转动时，速度和加速度变换变为：

绝对速度   = 牵连速度  +  （线速度）  + 相对速度
绝对加速度 = 牵连加速度 + （向心加速度 + 科里奥利加速度） + 相对加速度

可见，加速度变换中的（向心加速度+科氏加速度）类似于速度变换中的（线速度），都是速度/加速度变换过程中由于动系旋转产生的附加速度/加速度。可以大胆推测，加加速度（jerk）变换中将会有更多的附加项，而且会被赋予其他的名称。

②科氏加速度和向心加速度性质不同

向心加速度为 ${\color{Green} \omega \times \left (\omega \times r|_n \right)}$ ，说明只要动系有旋转，这项就会存在，而且方向是指向旋转轴（中心），向心由此得名。但是科氏加速度为 ${\color{Blue} \omega \times v|_n} + {\color{Red} \omega \times v|_n}$ ，说明不仅动系要有旋转，而且物体还要有相对于动系的速度 $v|_n$ 才会有科氏加速度，而且方向垂直于相对速度 $v|_n$ 。

③科氏加速度由两部分构成

虽然科氏加速度为 $2 \omega \times v|_n$ ，但其实是由两个 ${\color{Blue} \omega \times v|_n} + {\color{Red} \omega \times v|_n}$ 组成的，它们来源不同，物理含义也不同。从以上推导可以看出：

一项 ${\color{Blue} \omega \times v|_n$ 来自于 $\frac{d \omega \times r|_n}{dt} |_i$ ，即旋转带来的线速度项求导产生。具体来源于 $\frac {dr|_n}{dt}|_i$ ，即相对运动 ${\color{Blue} v|_n}$ 使得相对位矢 $r|_n$ 发生了变化，进而使得线速度发生了变化，产生了线速度的增量加速度 $\omega \times \frac {dr|_n}{dt} |_n$ ，即 ${\color{Blue} \omega \times v|_n}$ 。
还有一项 ${\color{Red} \omega \times v|_n}$ 来自于 $\frac {dv|_n}{dt} |_i$ ，即相对速度求导时，由于动系旋转使得 $\frac {dv|_n}{dt} |_i \neq \frac {dv|_n}{dt} |_n$ ，即 $\frac {dv|_n}{dt} |_i \neq a|_n$ ，而是多出了一项使得相对速度 $v|_n$ 一起旋转的项 ${\color{Red} \omega \times v|_n}$ 。

以上两项都和相对运动 $v|_n$ 有关，合在一起叫科氏加速度，因此不是很直观。

④科氏加速度的直观感受

想象你站在一个定轴匀速旋转的大圆盘上，如果你只是站着不动和圆盘一起旋转，那么你的绝对加速度只有向心加速度，但如果你还要相对圆盘匀速走动，显然由于圆盘每个位置的旋转速度不同，你必须有额外的加速度来适应圆盘不同位置的旋转速度；同时你还需要有加速度来保证你的相对速度也跟着圆盘一起旋转。这两项一起构成了科氏加速度。

5、科里奥利力

科氏力只是在科氏加速度基础上乘上质量 $m$ ，并取方向相反，即 $-2 m\omega \times v|_n$ 。科氏加速度是加速度变换中真实存在的加速度，但是科氏力只是惯性力的一种，不是真实作用在物体上的力，而是为了在非惯性系中使用牛顿第二定律而凑出的虚假的力。

$a |_i = a_e + \omega \times \left (\omega \times r|_n \right) +2 \omega \times v|_n + a|_n$

那么此时惯性系 $S_i$ 中的牛顿第二定律 $F=ma|_i$ 可以写为非惯性系 $S_n$ 中的形式：

$F= m \left( a_e + \omega \times \left (\omega \times r|_n \right) +2 \omega \times v|_n + a|_n \right )$

$\Downarrow$

$F - m a_e - m \omega \times \left (\omega \times r|_n \right) - 2m \omega \times v|_n = ma|_n$

可见，如果把左式的 $- m a_e - m \omega \times \left (\omega \times r|_n \right) - 2m \omega \times v|_n$ 也看成三个力（惯性力），那在非惯性系中“牛顿第二定律” $F_{sum} =ma|_n$ 好像也成立了。其中 $- m a_e$ 叫牵连力， $- m \omega \times \left (\omega \times r|_n \right)$ 叫离心力（对应向心加速度，与其方向相反）， $-2 m\omega \times v|_n$ 就是科氏力了。

虽然科氏力是虚假的惯性力的一种，只是为了凑牛顿第二定律而提出的，但却符合直观感受。比如前文提到的站在转盘上的例子，如果你要在转盘上跑动，那必然会感受到一个将你向一侧推的力，要把你推倒。这个力并不是真的施加给你的，而是你选择了转盘这个非惯性系作为参考系而产生的。