一、前言

视觉系统一共有四个坐标系：像素平面坐标系（u,v）、图像坐标系（x,y）、相机坐标系（Xc,Yc,Zc）和世界坐标系（Xw,Yw,Zw），如下图所示。每种坐标系之间均存在联系，那么如何通过图像像素坐标定位到世界坐标系的坐标，需要通过相机标定来解决，其中关键的算法部分在于坐标系转换，而变换则需要通过齐次坐标的表示方式来完成。

二、坐标系变换

2.1像素坐标系和图像坐标系的变换

像素坐标就是像素在图像中的位置。像素坐标系是建立在图像中的，需要和相机坐标系进行变换，其单位为像素。其的左上角的顶点就是原点（Op），水平向右是u，垂直向下是v轴。
图像坐标系的单位为毫米，这是因为像素坐标没办法反应图片中点的具体尺寸大小，所以需要图像坐标系来表示,原点为Oi，为光轴与成像平面的交点。
两个坐标系都在成像平面上，只是各自的原点和度量单位不一样。转换时需要知道两个参数（dx,dy）,分别表示感光芯片上像素的实际大小。

两者之间变换需要进行单位上的转换。在图中，假设图像中心的像素坐标是（u0,v0），那么，图像坐标系的坐标（x,y）与像素坐标系的坐标（u,v）之间的关系可以表示为：
u=x/dx+u0u=x/dx+u0u=x/dx+u0
v=y/dy+v0v=y/dy+v0v=y/dy+v0
转换为齐次坐标：
[uv1]\begin{bmatrix} u\\ v\\1\end{bmatrix}⎣⎡uv1⎦⎤=[1/dx0u001/dyv0001]\begin{bmatrix} 1/dx&0&u0\\ 0&1/dy&v0\\0&0&1\end{bmatrix}⎣⎡1/dx0001/dy0u0v01⎦⎤*[xy1]\begin{bmatrix} x\\ y\\1\end{bmatrix}⎣⎡xy1⎦⎤

2.2 相机坐标系与图像坐标系转换

相机坐标系是以相机的光轴作为Z轴，光线在相机光学系统的中心位置就是原点Oc（实际上就是透镜的中心）,相机坐标系的水平轴Xc与垂直轴Yc分别于图像坐标系的X轴和Y轴平行,OcOi之间的距离为f。
上图P点为图像点坐标，B为相机坐标系下物体坐标，可以通过相似三角形求解，如上图所示，最终也用齐次坐标进行表示。最后的表达式可以看出相机坐标系为三维，图像坐标系为2维，只能通过齐次坐标变换的形式升维。
那为什么像素坐标系会在相机坐标系的前面呢？
从原理图上我们可以看到像平面在镜面的右面，而在推导相机标定的坐标系关系时，却认为光线先通过成像平面，再在相机坐标系上汇聚到一个点。其原因是推导的时候，把像平面用虚拟像平面代替了。

2.3世界坐标系与相机坐标系转换

世界坐标系是目标物体位置的参考系，可以根据运算方便与否自由放置，单位为长度单位如mm。从世界坐标系转换到相机坐标系，涉及到旋转和平移（其实所有的运动也可以用旋转矩阵和平移向量来描述）。因为世界坐标系和摄像机坐标都是右手坐标系，所以其不会发生形变（刚性变换）。

计算过程：
平移，相机坐标点（Xc,Yc,Zc）平移距离为（tx,ty,tz）到世界坐标点（Xw,Yw,Zw）：
[XwYwZw1]\begin{bmatrix} Xw\\ Yw\\Zw\\1\end{bmatrix}⎣⎢⎢⎡XwYwZw1⎦⎥⎥⎤=[100tx010ty001tz0001]\begin{bmatrix} 1&0&0&tx\\0&1&0&ty\\0&0&1&tz\\0&0&0&1\end{bmatrix}⎣⎢⎢⎡100001000010txtytz1⎦⎥⎥⎤*[XcYcZc1]\begin{bmatrix} Xc\\Yc\\Zc\\1\end{bmatrix}⎣⎢⎢⎡XcYcZc1⎦⎥⎥⎤
坐标点（Xc,Yc,Zc）在平移的过程中旋转一定角度到世界坐标点（Xw,Yw,Zw）：
首先给定一个基本旋转矩阵和基本矩阵：
R=[cosθsinθ−sinθ−cosθ]\begin{bmatrix} cosθ&sinθ\\ -sinθ&-cosθ\end{bmatrix}[cosθ−sinθsinθ−cosθ]
基本矩阵：
[1000010000100001]\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}⎣⎢⎢⎡1000010000100001⎦⎥⎥⎤
如果坐标点（Xc,Yc,Zc）绕X，Y，Z轴分别旋转α，β，γ度，则最终的表达式为（哈哈，实在不想自己推导仿射变换的公式了，直接给最终结果，链接可以看下方）：

那么和平移变换联合起来可以写为：

2.4像素坐标系到世界坐标系变换（终极变换）

红框内即为外参，R和T分别为旋转和平移量。
内参为是相机固有的属性，实际上就是焦距f，像元尺寸dx,dy。
Zc很明显，表示的是点离光轴的距离。

参考文章：
相机参数标定（camera calibration）及标定结果如何使用
3d变换基础：平移、旋转、缩放（仿射变换）详解——公式推导
计算机视觉：相机成像原理：世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系之间的转换

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