泰勒展开

1.泰勒定理

若函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处n阶可微，则
f(x)=∑k=0nf(k)(x)k!(x−x0)k+Rn(x)f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x) f(x)=k=0∑nk!f(k)(x)(x−x0)k+Rn(x)
其中，Rn(x)R_n(x)Rn(x)称为f(x)f(x)f(x)的余项，常用的余项公式如下所示：

佩亚诺型余项：Rn(x)=o((x−x0)n)R_n(x) = o((x-x_0)^n)Rn(x)=o((x−x0)n)

拉格朗日型余项：
Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)(n+1)R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)} Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)(n+1)
其中，ξ\xiξ是介于x与x0x_0x0之间的一个数，特别的，当x0=0x_0 = 0x0=0时的带拉格朗日余项的泰勒公式如下：
f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+f(n+1)(ξ)(n+1)!xn+1,(0<ξ<x)f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !} x^{n+1},(0<\xi<x) f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+(n+1)!f(n+1)(ξ)xn+1,(0<ξ<x)
该方程称为麦克劳林公式。

下面给出几种常用的带拉格朗日余项的泰勒公式展开：

1）
ex=1+x+x22!+...+xnn!+e(θx)(n+1)!x(n+1)e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{(\theta x)}}{(n+1)!}x^{(n+1)} ex=1+x+2!x2+...+n!xn+(n+1)!e(θx)x(n+1)
2）
sin(x)=x−x33!+...+(−1)(n−1)x(2n−1)(2n−1)!+(−1)nx(2n+1)(2n+1)!sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+...+(-1)^{(n-1)}\frac{x^{(2n-1)}}{(2n-1)!}+(-1)^n\frac{x^{(2n+1)}}{(2n+1)!} sin(x)=x−3!x3+...+(−1)(n−1)(2n−1)!x(2n−1)+(−1)n(2n+1)!x(2n+1)
3）
cos(x)=1−x22!+...+(−1)nx(2n)(2n)!+(−1)(n+1)cosθx(2n+2)!x(2n+2)cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+...+(-1)^n\frac{x^{(2n)}}{(2n)!}+(-1)^{(n+1)}\frac{cos\theta x}{(2n+2)!}x^{(2n+2)} cos(x)=1−2!x2+...+(−1)n(2n)!x(2n)+(−1)(n+1)(2n+2)!cosθxx(2n+2)
4）
ln(1+x)=x−x22+...+(−1)(n−1)xnn+(−1)nx(n+1)(n+1)(1+θx)(n+1)ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+...+(-1)^{(n-1)}\frac{x^n}{n}+(-1)^n\frac{x^{(n+1)}}{(n+1)(1+\theta x)^{(n+1)}} ln(1+x)=x−2x2+...+(−1)(n−1)nxn+(−1)n(n+1)(1+θx)(n+1)x(n+1)
5）
(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+...+α(α−1)...(α−n+1)n!xn+α(α−1)...(α−n+1)(α−n)(n+1)!(1+θx)(α−n−1)x(n+1)(1+x)^\alpha = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)(\alpha-n)}{(n+1)!}(1+\theta x)^{(\alpha-n-1)}x^{(n+1)} (1+x)α=1+αx+2!α(α−1)x2+...+n!α(α−1)...(α−n+1)xn+(n+1)!α(α−1)...(α−n+1)(α−n)(1+θx)(α−n−1)x(n+1)
以上就是总结的几个常用的泰勒展开。

2.MATLAB实现方法

从上面的例子可以看出，麦克劳林公式实际上就是将f(x)f(x)f(x)表示为xnx^nxn的和的形式，而在MATLAB中实现泰勒展开的函数为taylor，其具体的语法格式如下所示：

实例：

（1）求ex2e^{x^2}ex2的7阶麦克劳林近似展开

syms x
f = exp(x^2);f7 = taylor(f)f7 =x^4/2 + x^2 + 1

（2）求sinxx\frac{sinx}{x}xsinx的5阶麦克劳林型展开

syms x
f = sin(x)/x;
f5=taylor(f)f5 =x^4/120 - x^2/6 + 1

（3）求f(x)=asin(x)+bcos(x)+ctan(x)f(x)=asin(x)+bcos(x)+ctan(x)f(x)=asin(x)+bcos(x)+ctan(x)的10阶麦克劳林展开

syms x a b c
f = a*sin(x)+b*cos(x)+c*tan(x);
f10 = taylor(f,x,'order',10)f10 =(a/362880 + (62*c)/2835)*x^9 + (b*x^8)/40320 + ((17*c)/315 - a/5040)*x^7 - (b*x^6)/720 + (a/120 + (2*c)/15)*x^5 + (b*x^4)/24 + (c/3 - a/6)*x^3 - (b*x^2)/2 + (a + c)*x + b

如果想了解更多泰勒定理的应用，可以参考这篇文章：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/355572556

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