714. 买卖股票的最佳时机含手续费

题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/

题目

给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

**注意：**这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1:

输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出: 8
解释: 能够达到的最大利润:
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

注意:

0 < prices.length <= 50000.
0 < prices[i] < 50000.
0 <= fee < 50000.

解题思路

思路：动态规划

这道题中，在相似题目也可以看到。该题跟【122. 买卖股票的最佳时机 II（动态规划、贪心）】相似，但是这道题中多出了限制条件，也就是【交易含手续费】。

回到本题，题目中给定的整数数组 pricespricesprices，其中第 iii 个元素表示给定股票第 iii 天的价格。其中非负整数 feefeefee 表示交易股票的手续费，要求获得最大的利润。

进行交易时，可以多次交易，但每次交易都需要手续费。若交易的过程中持有股票时，不能够再次购买，必须先卖出，也就是不能同时参与多笔交易。这里注意，手续费在一笔交易的整个过程中，只需要 支付一次。这里约定在交易卖出的时候支付手续费。

动态规划

因为【无法同时参与多笔交易】，那么当天交易持有股票的状态，要么是 000 只，要么是 111 只。这里我们用动态规划的方法来解决。

状态定义

设 dp[i][0]dp[i][0]dp[i][0] 表示第 iii 天交易完成后手中不持有股票时的最大利润；

设 dp[i][1]dp[i][1]dp[i][1] 表示第 iii 天交易完成后持有一只股票时的最大利润。

状态转移

dp[i][0]dp[i][0]dp[i][0] 表示第 iii 天交易完成后手中不持有股票时的最大利润，这里可能的情况如下：

第 i−1i-1i−1 天不持有股票，第 iii 天无交易发生；
第 i−1i-1i−1 天持有股票，第 iii 天将其交易卖出，获取利润。

那么此时的转移方程如下（注意交易含有手续费）：
dp[i][0]=max(dp[i−1][0],dp[i−1][1]+prices[i]−fee)dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i] - fee) dp[i][0]=max(dp[i−1][0],dp[i−1][1]+prices[i]−fee)
同样， dp[i][1]dp[i][1]dp[i][1] 表示第 iii 天交易完成后持有一只股票时的最大利润，可能情况如下：

第 i−1i-1i−1 天持有股票，第 iii 天无交易发生；
第 i−1i-1i−1 天不持有股票，第 iii 天交易买入股票。

此时的转移方程如下：
dp[i][1]=max(dp[i−1][1],dp[i−1][0]−prices[i])dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]) dp[i][1]=max(dp[i−1][1],dp[i−1][0]−prices[i])

状态初始化

第一天交易，可选择不交易或者买入股票，那么此时的对应的状态值：

dp[0][0]=0dp[0][0] = 0dp[0][0]=0；
dp[0][1]=−prices[0]dp[0][1]=-prices[0]dp[0][1]=−prices[0]。

sizesizesize 表示数组的长度。

现在从第一天开始计算，这里最终返回的最大利润应该是 dp[size−1][0]dp[size-1][0]dp[size−1][0]。

因为交易购买股票时，需要先垫付金额。那么 dp[size−1][1]dp[size-1][1]dp[size−1][1] 对应的值一定要小于 dp[size−1][0]dp[size-1][0]dp[size−1][0] 的。所以最终应该求 dp[size−1][0]dp[size-1][0]dp[size−1][0]。

具体的代码实现如下。

class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int], fee: int) -> int:size = len(prices)# 定义数组dp = [[0, 0] for _ in range(size)]# 状态初始化dp[0][0] = 0dp[0][1] = -prices[0]# 开始计算for i in range(1, size):# 状态转移dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+prices[i]-fee)dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i])return dp[size-1][0]

动态规划（空间优化）

上面的方法中，我们可以看到，当天的状态值只与前一天的状态值相关。从这里进行优化，进行降维。代码实现如下。

class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int], fee: int) -> int:size = len(prices)dp = [0, -prices[0]]for i in range(1, size):# 其中 dp[1] 需要用到前一天 dp[0] 的值，但 dp[0] 会先变化，这里 tmp 先进行暂存tmp = dp[0]dp[0] = max(dp[0], dp[1]+prices[i]-fee)dp[1] = max(dp[1], tmp-prices[i])return dp[0]

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