49-从哥尼斯堡七桥问题开始

关于前面的树的学习已经告一段落了，从这一篇起我们要开始新的征程——图的学习，但在正式学习图之前，我们先来了解一个有趣的，关于图的问题：哥尼斯堡七桥问题。

1. 哥尼斯堡七桥问题

图1

在18世纪初普鲁士的哥尼斯堡小镇上有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来。

于是有人提出问题：一个步行者怎样才能不重复，不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。

这个问题提出后，引发了很多人的兴趣，于是小镇上的居民开始思考这个问题，进行试验，但是在之后很长的一段时间里，这个问题一直都没有得到解决。

其实对于这个问题，利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有5040种，如果每种走法都走一遍的话需要花费很长时间，但怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢？因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。

于是就有学生给天才数学家欧拉写信，请他帮忙解决这一问题。1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支 ——— 图论（图论不光有在计算机中应用，而且在其他学科中也有着广泛的应用，向伟大的欧拉数学家致敬！）。

2. 欧拉解题路线

图2

欧拉将哥尼斯堡七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示，用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域，并由此得到了如图一样的几何图形，然后再进行形式化定义。

欧拉在根据上面的几何图形的图性质，解决哥尼斯堡七桥问题的结论是这样的：如果通奇数桥（七座桥是奇数桥）的地方多于两个，则不存在欧拉回路；如果只有两个地方通奇数桥，可以从这两个地方之一出发，找到欧拉回路；如果没有一个地方通奇数桥，则无论从哪里出发，都能找到欧拉回路。结论：通奇数桥的地方为0个或2个，有欧拉回路。

比如在上图中连接A的路线有5条，连接B的路线有3条，连接C和D的路线也有3条。所以通奇数桥的地方不是0个，也不是2个，是没有欧拉回路的，因此欧拉根据这样的性质得出：没有任何一种走法可以从某地出发，不遗漏地一次走完七座桥，再回到原点。也就是说，这个问题无解。

3. 用计算机求解图问题

其实对于哥尼斯堡七桥问题，我们可以依次计算图中与每个节点相关联的边的个数(节点的度)，根据度为奇数的节点个数判定是否存在欧拉回路。

数据表示——数据结构：
设邻接矩阵arc[n][n]这样的存储结构来描述图中每个点的桥的个数（边的个数）

图3

在邻接矩阵中：

第1行第1列的0代表A到A的边的个数为0
第1行第2列的2代表A到B的边的个数为2
第1行第3列的2代表A到C的边的个数为2
第1行第4列的1代表A到D的边的个数为1
第2行第1列的2代表B到A的边的个数为2
第2行第2列的0代表B到B的边的个数为0
第2行第3列的0代表B到C的边的个数为0
第2行第4列的1代表B到D的边的个数为1
第三行，以此类推……
第四行，以此类推……

数据处理——算法：
1. 通奇数桥的顶点个数count初始化为0；
2. 下标 i 从0 ~ n – 1重复执行下述操作：
2.1 计算矩阵arc[n][n]第i行元素之和degree;
2.2 如果degree为奇数，则count++;
3. 如果count等于0或2，则存在欧拉回路；否则不存在欧拉回路；

算法实现：

int main(void)
{//邻接矩阵arcchar ch = 'A';int arc[4][4] = {               {0,2,2,1},{2,0,0,1},{2,0,0,1},{1,1,1,0}};int count = 0;int i;int j;int degree = 0;for(i = 0; i < 4; i++){//计算矩阵arc[n][n]第i行元素之和degreefor(j = 0; j < 4; j++){degree += arc[i][j];}printf("%c点的度为：%d\n" ,  ch++, degree);//如果degree为奇数，则count++if(degree % 2 == 1){count++;}degree = 0;}//如果count等于0或2，则存在欧拉回路；否则不存在欧拉回路if(count == 0 || count == 2){printf("存在欧拉回路\n");}else{printf("不存在欧拉回路\n");}return 0;
}

测试结果：

在这一篇中我们简单介绍了哥尼斯堡七桥问题，以及用计算机求解图问题，而这也是我们接下来要学习的数据结构——图。