附笔记pdf下载,MIT中文线性代数课程精细笔记[第四课]
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鉴于之前MIT的线代笔记没有跟新完和很多童鞋希望pdf版本下载学习,这里我把相关资源放到github上并重新更新完,希望对大家学习有所帮助。
pdf下载地址与Github地址:
https://github.com/yizhen20133868/MIT-Linear-Algebra-Notesgithub.com
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目录如下:
该笔记总结了我们在学习MIT线性代数课程的学习经验和过程。
课程顺序是按照麻省理工公开课的 Linear Algebra. 记录的学习笔记。
第一课,第二课,第三课
本笔记作者介绍:
丁坤博 东北大学本科生,推免至北京大学攻读研究生
覃立波 哈尔滨工业大学SCIR实验室在读博士生,导师车万翔老师
一、知识概要
本节我们再谈置换矩阵与转置矩阵,并介绍对称阵。之后便进入学习线代的关 键所在:向量空间与子空间。
二、置换矩阵
2.1 置换矩阵回顾
所谓的置换矩阵 P,就是用来完成行交换的矩阵,更具体来讲,是行重新排列 了的单位矩阵。例如 I 就是一个置换矩阵,只不过 I 对矩阵没影响。
那么对于 n 阶矩阵来说,有多少个置换矩阵呢?答案是:n!种,也就是将单 位矩阵 I 各行重新排列后所有可能的情况数量。
2.2 置换矩阵的使用
在讲消元法的时候,主元位置为 0 是一件很让人头疼的事情,这时就需要置 换矩阵 P 来完成行交换,确保消元过程顺利进行。上节课学习 A = LU 分解时, 我们没有考虑要交换行的过程,如果我们想写出更普适的 LU 分解式的话,必须 把行交换情况考虑进去,即:
PA = LU
先用行交换使得主元位置不为 0,行顺序正确。其后再用 LU 分解。
三.转置矩阵
3.1 转置矩阵回顾
之前简单介绍过转置矩阵,即
3.2 对称阵
对称矩阵,顾名思义,就是主对角线两侧元素对应相等的矩阵。或者说,对 矩阵 A,如果有:
四、向量空间与子空间
4.1 向量空间
首先明确“向量空间”的概念,它表示一整个空间的向量,但是要注意,不 是任意向量的集合都能被称为向量空间。所谓的向量空间,必须满足一定规则, 就是:该空间对线性运算(相加,数乘)封闭。类似:v → 3v 或 v,w → v+w 运算,若得到的 3v 或者 v+w 都仍然在此空间中,那么这个空间可称为向量空间。
很明显,这部分空间无法满足“线性组合仍在空间中”的要求,比如数乘运算 时,随便取个负数,向量就跑到第三象限去,脱离 D 空间范围内了。
4.2 子空间
上面的反例已经证明了。在向量空间里随便取其一部分,很可能得到的不是 向量空间。那如果我们取向量空间的一部分,将其打乱,构成的有没有可能是向 量空间呢?
4.3 列空间简要介绍
上面介绍的子空间都是基于已知的图像来寻找的,接下来我们来通过具体的 矩阵来构造出一个子空间,比如:列向量构造出的列空间。
这里还要注意列向量之间的性质,如果列向量之间就是共线的,那么其列空 间就是一条过原点的直线。
五.学习感悟
这节算是结束了之前部分对基本运算和基本概念的介绍。介绍了向量空间和 子空间,并由子空间引出了通过具体的列向量构成的空间—列空间。如何理解空 间十分重要,本节中对低维的空间做了图,目的主要是便于我们理解“空间”这 一概念。
笔记pdf下载地址:https://github.com/yizhen20133868/MIT-Linear-Algebra-Notes
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