数值分析(5)-分段低次插值和样条插值

整理一下数值分析的笔记~
目录：

1. 误差

2. 多项式插值与样条插值(THIS)

3. 函数逼近

4. 数值积分与数值微分

5. 线性方程组的直接解法

6. 线性方程组的迭代解法

7. 非线性方程求根

8. 特征值和特征向量的计算

9. 常微分方程初值问题的数值解

1. 分段低次插值

1.1 高次插值的龙格现象

龙格现象就是插值多项式不收敛现象，节点(插值多项式的次数)增加不会带来精度的改善，甚至可能增加误差。

1.2 分段低次插值

插值时先把整个区间分成若干个小区间，每个区间上作低次插值，拼一个分段函数作插值函数。优点诸多但是缺点时节点处导数值不连续，这就产生了样条插值。

2. 三次样条插值

2.1 样条曲线的特点

点点通过 →\rarr→ 插值
光顺
计算简单
(对于低阶样条)保凸

2.2 三次样条

定义：设a=x0<x1<...<xn=ba=x_0 < x_1<...<x_n=ba=x0<x1<...<xn=b，函数S(x)∈C2[a,b]S(x) \in C^2[a,b]S(x)∈C2[a,b]，且在每个[xi,xi+1][x_i,x_{i+1}][xi,xi+1]上为三次多项式，同时满足S(xi)=f(xi),(i=0,1,...,n)S(x_i)=f(x_i),(i=0,1,...,n)S(xi)=f(xi),(i=0,1,...,n)，则称f为三次样条插值函数。

{三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于其自身光滑除了端点外不需要知道f的导数值}

若S为f的三次样条插值函数:

S(x)={S1(x),x∈[x0,x1]S2(x),x∈[x1,x2]...Sn(x),x∈[xn−1,xn]S(x)=\begin{cases} S_1(x),&x \in [x_0,x_1]\\ S_2(x),&x \in [x_1,x_2] \\ ...\\ S_n(x), &x \in [x_{n-1},x_n] \end{cases} S(x)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧S1(x),S2(x),...Sn(x),x∈[x0,x1]x∈[x1,x2]x∈[xn−1,xn]

则Si(x)=ai0+ai1x+ai2x2+ai3x3,i=1,2,...,nS_i(x)=a_{i0}+a_{i1}x+a_{i2}x^2+a_{i3}x^3,i=1,2,...,nSi(x)=ai0+ai1x+ai2x2+ai3x3,i=1,2,...,n，也就是共有4n个待定系数，而已知条件只有4n-2个，即：

i=0,1,2,...,n时，S(xi)=f(xi)i=1,2,...,n−1时，S(xi−)=S(xi+),S′(xi−)=S′(xi+)，S′′(xi−)=S′′(xi+)i=0,1,2,...,n时，S(x_i)=f(x_i)\\ i=1,2,...,n-1时，S(x_i^-)=S(x_i^+),\\S'(x_i^-)=S'(x_i^+)，\\S''(x_i^-)=S''(x_i^+) i=0,1,2,...,n时，S(xi)=f(xi)i=1,2,...,n−1时，S(xi−)=S(xi+),S′(xi−)=S′(xi+)，S′′(xi−)=S′′(xi+)

还需要两个才能确定最终的系数，通常是在区间端点a,b上各加一个条件即边界条件，由实际问题给出，常用的有三种类型：

给定两端点f(x)的一阶导数值S′(x0)=f′(x0),S′(xn)=f′(xn)S'(x_0)=f'(x_0),S'(x_n)=f'(x_n)S′(x0)=f′(x0),S′(xn)=f′(xn)
给定两端点f(x)的二阶导数值S′′(x0)=f′′(x0),S′′(xn)=f′′(xn)S''(x_0)=f''(x_0),S''(x_n)=f''(x_n)S′′(x0)=f′′(x0),S′′(xn)=f′′(xn)
f具有周期性，即：S(x0+)=S(xn−),S′(x0+)=S′(xn−),S′′(x0+)=S′′(xn−)S(x_0^+)=S(x_n^-),S'(x_0^+)=S'(x_n^-),S''(x_0^+)=S''(x_n^-)S(x0+)=S(xn−),S′(x0+)=S′(xn−),S′′(x0+)=S′′(xn−)

但是通过4n个方程得到4n个待定参数也只是理论上可行，实际计算量太大，由此提出两种简单的构造方法:

2.3 三转角法(从样条函数的一阶导数出发)

假定S′(xj)=mj(j=0,...,n)S'(x_j)=m_j(j=0,...,n)S′(xj)=mj(j=0,...,n)，根据分段三次埃尔米特插值多项式：

S(x)=∑j=0n[fjαj(x)+mjβj(x)],其中αj(x)和βj(x)为三次埃尔米塔插值基函数S(x)=\sum_{j=0}^n[f_j\alpha_j(x)+m_j\beta_j(x)],\\ 其中\alpha_j(x)和\beta_j(x)为三次埃尔米塔插值基函数 S(x)=j=0∑n[fjαj(x)+mjβj(x)],其中αj(x)和βj(x)为三次埃尔米塔插值基函数

由插值条件，连续性条件和边界条件可得关于mjm_jmj的三对角方程组，求出mjm_jmj,得到三次样条插值函数。

2.4 三弯矩法(从样条函数的二阶导数出发)

S在[xi−1,xi][x_{i-1},x_i][xi−1,xi]上为三次多项式，所以其二阶导数必为一次式。

设S(x)在节点xix_ixi处的二阶导数为：S′′(xi)=Mi(i=0,1,...,n)S''(x_i)=M_i(i=0,1,...,n)S′′(xi)=Mi(i=0,1,...,n)，则s′′(x)s''(x)s′′(x)在此小区间上是x的线性函数，且因为S′′(xi−1)=Mi−1,S′′(xi)=MiS''(x_{i-1})=M_{i-1},S''(x_{i})=M_{i}S′′(xi−1)=Mi−1,S′′(xi)=Mi，用线性插值可得：

Si′′(x)=Mi−1x−xixi−1−xi+Mix−xi−1xi−xi−1，x∈[xi−1,xi]记hi=xi−xi−1,有S′′(x)=Mi−1xi−xhi+Mix−xi−1hi连续两次积分得Si(x)=Mi−1(xi−x)36hi+Mi(x−xi−1)36hi+Ai(xi−x)+Bi(x−xi−1)由于Si(xi−1)=f(xi−1)=yi−1且Si(xi)=f(xi)=yi得：Si(xi−1)=16Mi−1hi2+Aihi=yi−1Si(xi)=16Mihi2+Bihi=yi得：Ai=1hi(yi−1+16Mi−1hi2)Bi=1hi(yi+16Mihi2)代入得：Si(x)=Mi−1(xi−x)36hi+Mi(x−xi−1)36hi+1hi(yi−1+16Mi−1hi2)(xi−x)+1hi(yi+16Mihi2)(x−xi−1),x∈[xi−1,xi]其中M0,M−1,...,Mn是待求的常数，可利用S′(xi−0)=S′(xi+0)求出MiS_i''(x)=M_{i-1}\frac{x-x_i}{x_{i-1}-x_i}+\\ M_i\frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}，x \in [x_{i-1},x_i]\\ 记h_i=x_i-x_{i-1},有\\ S''(x)=M_{i-1}\frac{x_i-x}{h_i}+M_i\frac{x-x_{i-1}}{h_i}\\ 连续两次积分得\\ S_i(x)=M_{i-1}\frac{(x_i-x)^3}{6h_i}+M_i\frac{(x-x_{i-1})^3}{6h_i}+\\A_i(x_i-x)+B_i(x-x_{i-1})\\ 由于S_i(x_{i-1})=f(x_{i-1})=y_{i-1}且\\S_i(x_i)=f(x_i)=y_i\\ 得：S_i(x_{i-1})=\frac{1}{6}M_{i-1}h^2_i+A_ih_i=y_{i-1}\\S_i(x_i)=\frac{1}{6}M_ih_i^2+B_ih_i=y_i\\ 得：A_i=\frac{1}{h_i}\left(y_{i-1}+\frac{1}{6}M_{i-1}h_i^2\right)\\ B_i=\frac{1}{h_i}\left(y_{i}+\frac{1}{6}M_{i}h_i^2\right)\\ 代入得：\\ S_i(x)=M_{i-1}\frac{(x_i-x)^3}{6h_i}+M_i\frac{(x-x_{i-1})^3}{6h_i}+\\\frac{1}{h_i}\left(y_{i-1}+\frac{1}{6}M_{i-1}h_i^2\right)(x_i-x)+\\\frac{1}{h_i}\left(y_{i}+\frac{1}{6}M_{i}h_i^2\right)(x-x_{i-1}),x\in[x_{i-1},x_i]\\ 其中M_0,M-1,...,M_n是待求的常数，\\可利用S'(x_i-0)=S'(x_i+0)求出M_i Si′′(x)=Mi−1xi−1−xix−xi+Mixi−xi−1x−xi−1，x∈[xi−1,xi]记hi=xi−xi−1,有S′′(x)=Mi−1hixi−x+Mihix−xi−1连续两次积分得Si(x)=Mi−16hi(xi−x)3+Mi6hi(x−xi−1)3+Ai(xi−x)+Bi(x−xi−1)由于Si(xi−1)=f(xi−1)=yi−1且Si(xi)=f(xi)=yi得：Si(xi−1)=61Mi−1hi2+Aihi=yi−1Si(xi)=61Mihi2+Bihi=yi得：Ai=hi1(yi−1+61Mi−1hi2)Bi=hi1(yi+61Mihi2)代入得：Si(x)=Mi−16hi(xi−x)3+Mi6hi(x−xi−1)3+hi1(yi−1+61Mi−1hi2)(xi−x)+hi1(yi+61Mihi2)(x−xi−1),x∈[xi−1,xi]其中M0,M−1,...,Mn是待求的常数，可利用S′(xi−0)=S′(xi+0)求出Mi

由于：

Si(x)=Mi−1(xi−x)36hi+Mi(x−xi−1)36hi+1hi(yi−1+16Mi−1hi2)(xi−x)+1hi(yi+16Mihi2)(x−xi−1),x∈[xi−1,xi]求导，Si′(x)=−Mi−1(xi−x)22hi+Mi(x−xi−1)22hi+(yi−yi−1)hi+hi6(Mi−Mi−1)S_i(x)=M_{i-1}\frac{(x_i-x)^3}{6h_i}+M_i\frac{(x-x_{i-1})^3}{6h_i}+\\ \frac{1}{h_i}\left(y_{i-1}+\frac{1}{6}M_{i-1}h_i^2\right)(x_i-x)+\\\frac{1}{h_i}\left(y_{i}+\frac{1}{6}M_{i}h_i^2\right)(x-x_{i-1}),x\in[x_{i-1},x_i]\\ 求导，S_i'(x)=-M_{i-1}\frac{(x_i-x)^2}{2h_i}+M_i\frac{(x-x_{i-1})^2}{2h_i}+\\\frac{(y_i-y_{i-1})}{h_i}+\frac{h_i}{6}(M_i-M_{i-1}) Si(x)=Mi−16hi(xi−x)3+Mi6hi(x−xi−1)3+hi1(yi−1+61Mi−1hi2)(xi−x)+hi1(yi+61Mihi2)(x−xi−1),x∈[xi−1,xi]求导，Si′(x)=−Mi−12hi(xi−x)2+Mi2hi(x−xi−1)2+hi(yi−yi−1)+6hi(Mi−Mi−1)

由此得：

Si′(xi−0)=hi6Mi−1+hi3Mi+yi−yi−1hiSi′(xi−1+0)=−hi3Mi−1−hi6Mi+yi−yi−1hi得Si+1′(xi+0)=−hi+13Mi−hi+16Mi+1+yi+1−yihi+1S'_i(x_i-0)=\frac{h_i}{6}M_{i-1}+\frac{h_i}{3}M_i+\frac{y_i-y_{i-1}}{h_i}\\ S'_i(x_{i-1}+0)=-\frac{h_i}{3}M_{i-1}-\frac{h_i}{6}M_i+\frac{y_i-y_{i-1}}{h_i}\\ 得S'_{i+1}(x_{i}+0)=-\frac{h_{i+1}}{3}M_{i}-\frac{h_{i+1}}{6}M_{i+1}+\frac{y_{i+1}-y_{i}}{h_{i+1}} Si′(xi−0)=6hiMi−1+3hiMi+hiyi−yi−1Si′(xi−1+0)=−3hiMi−1−6hiMi+hiyi−yi−1得Si+1′(xi+0)=−3hi+1Mi−6hi+1Mi+1+hi+1yi+1−yi

因为Si′(xi−0)=Si+1′(xi+0)S_i'(x_i-0)=S_{i+1}'(x_i+0)Si′(xi−0)=Si+1′(xi+0)可以求出参数Mi−1,Mi,Mi+1M_{i-1},M_i,M_{i+1}Mi−1,Mi,Mi+1的一个方程：

hi6Mi−1+hi+hi+13Mi+hi+16Mi+1=yi+1−yihi+1+yi−yi−1hi\frac{h_i}{6}M_{i-1}+\frac{h_i+h_{i+1}}{3}M_i+\frac{h_{i+1}}{6}M_{i+1}=\\\frac{y_{i+1}-y_i}{h_{i+1}}+\frac{y_{i}-y_{i-1}}{h_{i}} 6hiMi−1+3hi+hi+1Mi+6hi+1Mi+1=hi+1yi+1−yi+hiyi−yi−1

两边同乘6hi+hi+1\frac{6}{h_i+h_{i+1}}hi+hi+16，得方程：

hihi+hi+1Mi−1+2Mi+hi+1hi+hi+1Mi+1=6hi+hi+1(f[xi,xi+1]−f[xi−1,xi])\frac{h_i}{h_i+h_{i+1}}M_{i-1}+2M_i+\frac{h_{i+1}}{h_i+h_{i+1}}M_{i+1}=\\\frac{6}{h_i+h_{i+1}}\left(f[x_i,x_{i+1}]-f[x_{i-1},x_i]\right) hi+hi+1hiMi−1+2Mi+hi+hi+1hi+1Mi+1=hi+hi+16(f[xi,xi+1]−f[xi−1,xi])

令：

μi=hihi+hi+1λi=hi+1hi+hi+1=1−μigi=6hi+hi+1(f[xi,xi+1]−f[xi−1,xi])=6f[xi−1,xi,xi+1]\mu_i=\frac{h_i}{h_i+h_{i+1}}\\ \lambda_i=\frac{h_{i+1}}{h_i+h_{i+1}}=1-\mu_i\\ g_i=\frac{6}{h_i+h_{i+1}}\left(f[x_i,x_{i+1}]-f[x_{i-1},x_i]\right)\\=6f[x_{i-1},x_i,x_{i+1}] μi=hi+hi+1hiλi=hi+hi+1hi+1=1−μigi=hi+hi+16(f[xi,xi+1]−f[xi−1,xi])=6f[xi−1,xi,xi+1]

则方程可以简写为：μiMi−1+2Mi+λiMi+1=gi,i=1,2,...,n−1\mu_iM_{i-1}+2M_i+\lambda_iM_{i+1}=g_i,i=1,2,...,n-1μiMi−1+2Mi+λiMi+1=gi,i=1,2,...,n−1，也就是共有n-1个方程，下面分三种边界条件依次讨论：

2.4.1 第一种边界条件，已知插值区间两端的一阶导数值

μi=hihi+hi+1,λi=hihi+hi+1gi=6f[xi−1,xi,xi+1],g0=6h1(f[x0,x1]−y0′),gn=6yn′−f[xn−1,xn]\mu_i=\frac{h_i}{h_i+h_{i+1}}, \lambda_i=\frac{h_i}{h_i+h_{i+1}}\\ g_i=6f[x_{i-1},x_i,x_{i+1}],\\g_0=\frac{6}{h_1}(f[x_0,x_1]-y_0'),\\g_n=\frac{6}{y'_n-f[x_{n-1},x_n]} μi=hi+hi+1hi,λi=hi+hi+1higi=6f[xi−1,xi,xi+1],g0=h16(f[x0,x1]−y0′),gn=yn′−f[xn−1,xn]6

有三弯矩方程：

[21μ12λ1...............μn−12λn−112][M0M1...Mn−1Mn]=[g0g1...gn−1gn]\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & & & \\ \mu_1 & 2 & \lambda_1 & & \\ ...&...&...&...&...\\ & & \mu_{n-1} & 2 & \lambda_{n-1} \\ & & & 1 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} M_0 \\ M_1 \\ ... \\ M_{n-1}\\ M_n \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} g_0 \\ g_1 \\ ... \\ g_{n-1}\\ g_n \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎢⎢⎡2μ1...12...λ1...μn−1...21...λn−12⎦⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎡M0M1...Mn−1Mn⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡g0g1...gn−1gn⎦⎥⎥⎥⎥⎤

2.4.2 第二种边界条件：已知插值区间两端的二阶导数值

有三弯矩矩阵：

[2λ1μ22λ2...............μn−22λn−2μn−12][M1M2...Mn−2Mn−1]=[g1−μ1y0′′g2...gn−2gn−1−λn−1yn′′]且有自然边界条件：M0=Mn=0\left[ \begin{matrix} 2 & \lambda_1 & & & \\ \mu_2 & 2 & \lambda_2 & & \\ ...&...&...&...&...\\ & & \mu_{n-2} & 2 & \lambda_{n-2} \\ & & & \mu_{n-1} & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} M_1 \\ M_2 \\ ... \\ M_{n-2}\\ M_{n-1} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} g_1-\mu_1y''_0 \\ g_2 \\ ... \\ g_{n-2}\\ g_{n-1}-\lambda_{n-1}y_n'' \end{matrix} \right]\\ 且有自然边界条件：M_0=M_n=0 ⎣⎢⎢⎢⎢⎡2μ2...λ12...λ2...μn−2...2μn−1...λn−22⎦⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎡M1M2...Mn−2Mn−1⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡g1−μ1y0′′g2...gn−2gn−1−λn−1yn′′⎦⎥⎥⎥⎥⎤且有自然边界条件：M0=Mn=0

2.4.3 第三种边界条件

有三弯矩矩阵：

[2λ1μ1μ22λ2...............μn−12λn−1λnμn2][M1M2...Mn−1Mn]=[g1g2...gn−1gn]\left[ \begin{matrix} 2 & \lambda_1 & & & \mu_1\\ \mu_2 & 2 & \lambda_2 & & \\ ...&...&...&...&...\\ & & \mu_{n-1} & 2 & \lambda_{n-1} \\ \lambda_n& & & \mu_n & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} M_1 \\ M_2 \\ ... \\ M_{n-1}\\ M_n \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} g_1 \\ g_2 \\ ... \\ g_{n-1}\\ g_n \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎢⎢⎡2μ2...λnλ12...λ2...μn−1...2μnμ1...λn−12⎦⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎡M1M2...Mn−1Mn⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡g1g2...gn−1gn⎦⎥⎥⎥⎥⎤

值得注意的是，上面三种条件中的线性方程组的系数矩阵都是非奇异的，因此有唯一解，三次样条函数由边界条件唯一确定。

eg.设f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=1,f′′(0)=1,f′′(3=0)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=1,f''(0)=1,f''(3=0)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=1,f′′(0)=1,f′′(3=0)，试求f(x)f(x)f(x)在区间[0,3]上的三次样条函数S(x).

解：由M0=y0′′,Mn=yn′′M_0=y''_0,M_n=y''_nM0=y0′′,Mn=yn′′知M0=f′′(0)=1,M3=f′′(3)=0M_0=f''(0)=1,M_3=f''(3)=0M0=f′′(0)=1,M3=f′′(3)=0,构造差商表：

xix_ixi	f(xi)f(x_i)f(xi)	一阶差商	二阶差商
0	0
1	1	1
2	0	-1	-1
3	1	1	1

由：

得μ1=0.5,uμ2=0.5,λ1=λ2=0.5,g1=−6,g2=6\mu_1=0.5,u\mu_2=0.5,\lambda_1=\lambda_2=0.5,g_1=-6,g_2=6μ1=0.5,uμ2=0.5,λ1=λ2=0.5,g1=−6,g2=6,第二边界条件的三弯矩方程为：

[2λ1μ22λ2...............μn−22λn−2μn−12][M1M2...Mn−2Mn−1]=[g1−μ1y0′′g2...gn−2gn−1−λn−1yn′′]\left[ \begin{matrix} 2 & \lambda_1 & & & \\ \mu_2 & 2 & \lambda_2 & & \\ ...&...&...&...&...\\ & & \mu_{n-2} & 2 & \lambda_{n-2} \\ & & & \mu_{n-1} & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} M_1 \\ M_2 \\ ... \\ M_{n-2}\\ M_{n-1} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} g_1-\mu_1y''_0 \\ g_2 \\ ... \\ g_{n-2}\\ g_{n-1}-\lambda_{n-1}y_n'' \end{matrix} \right]\\ ⎣⎢⎢⎢⎢⎡2μ2...λ12...λ2...μn−2...2μn−1...λn−22⎦⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎡M1M2...Mn−2Mn−1⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡g1−μ1y0′′g2...gn−2gn−1−λn−1yn′′⎦⎥⎥⎥⎥⎤

得：

[20.50.52][M1M2]=[−6−0.56]\left[ \begin{matrix} 2 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} M_1 \\ M_2 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} -6-0.5\\ 6 \end{matrix} \right] [20.50.52][M1M2]=[−6−0.56]

解得M1=−6415,M2=6115M_1=\frac{-64}{15},M_2=\frac{61}{15}M1=15−64,M2=1561

因为：

Si(x)=Mi−1(xi−x)36hi+Mi(x−xi−1)36hi+1hi(yi−1+16Mi−1hi2)(xi−x)+1hi(yi+16Mihi2)(x−xi−1),x∈[xi−1,xi]S_i(x)=M_{i-1}\frac{(x_i-x)^3}{6h_i}+M_i\frac{(x-x_{i-1})^3}{6h_i}+\\\frac{1}{h_i}\left(y_{i-1}+\frac{1}{6}M_{i-1}h_i^2\right)(x_i-x)+\\\frac{1}{h_i}\left(y_{i}+\frac{1}{6}M_{i}h_i^2\right)(x-x_{i-1}),x\in[x_{i-1},x_i]\\ Si(x)=Mi−16hi(xi−x)3+Mi6hi(x−xi−1)3+hi1(yi−1+61Mi−1hi2)(xi−x)+hi1(yi+61Mihi2)(x−xi−1),x∈[xi−1,xi]

将hi=1,M0=1,M1,M2h_i=1,M_0=1,M_1,M_2hi=1,M0=1,M1,M2代入可得：

x∈[0,1],S1(x)=190(−79x2+45x3+124x)x∈[1,2],S2(x)=190(125x3−567x2+736x−204)x∈[2,3],S3(x)=190(−61x3+549x2−1496x+1284)x\in[0,1],S_1(x)=\frac{1}{90}(-79x^2+45x^3+124x)\\ x\in[1,2],S_2(x)=\frac{1}{90}(125x^3-567x^2+736x-204)\\ x\in[2,3],S_3(x)=\frac{1}{90}(-61x^3+549x^2-1496x+1284) x∈[0,1],S1(x)=901(−79x2+45x3+124x)x∈[1,2],S2(x)=901(125x3−567x2+736x−204)x∈[2,3],S3(x)=901(−61x3+549x2−1496x+1284)

{持续更新}
欢迎扫描二维码关注微信公众号深度学习与数学 [每天获取免费的大数据、AI等相关的学习资源、经典和最新的深度学习相关的论文研读，算法和其他互联网技能的学习，概率论、线性代数等高等数学知识的回顾]