随机变量及其分布和几种常见分布
符号
(I)(I)(I)(0-1)分布(离散型)
X\sim B(1,p)
(II)(II)(II)伯努利试验，二项分布(离散型)
X\sim B(n,p)
(III)(III)(III)泊松分布(离散型)
X\sim \pi(\lambda)
(IV)(IV)(IV)几何分布（离散型）
X\sim G(p)
(V)(V)(V)超几何分布（离散型）
X\sim H(n,M,N)
(VI)(VI)(VI)均匀分布(连续型)
X\sim U(a,b)
(VII)(VII)(VII)指数分布(连续型)
X\sim E(\theta)
(VIII)(VIII)(VIII)正态分布(连续型)
X\sim N(\mu,\sigma^2)
标准正态分布：
X\sim N(0,1)
随机变量
定义：
设随机试验的样本空间S={e}.X=X(e)S={e}.X=X(e)S=\{e\}.X=X(e)是定义在样本空间SSS上的 实值单值函数。称X=X(e)" role="presentation" style="position: relative;">X=X(e)X=X(e)X=X(e)为 随机变量。
投掷一枚硬币三次，观察出现正面和反面的情况
样本空间是：
S=\{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT\}
以 XXX记三次投掷得到正面H" role="presentation" style="position: relative;">HHH的总数，那么对于样本空间 S={e}S={e}S=\{e\}中每一个样本点 eee，X" role="presentation" style="position: relative;">XXX都有一个数与之对应。 XXX是定义在样本空间S" role="presentation" style="position: relative;">SSS上的一个实值单值函数，他的定义域是样本空间 SSS,值域是实数集合{0,1,2,3}" role="presentation" style="position: relative;">{0,1,2,3}{0,1,2,3}\{0,1,2,3\},使用函数标记可以将 XXX写成：
X=X(e)=\left\{\begin{aligned}3,&e=HHH\\ 2,&e=HHT,HTH,THH\\ 1,&e=HTT,THT,TTH\\ 0,&e=TTT\\ \end{aligned}\right.
离散型随机变量及其分布律
有些随机变量，他的全部可能取值是有限个或者可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。
设离散型随机变量XXX的所有可能取值为xk(k=1,2,⋯)" role="presentation" style="position: relative;">xk(k=1,2,⋯)xk(k=1,2,⋯)x_k(k=1,2,\cdots),XXX取各个可能值得概率，即事件{X=xk}" role="presentation" style="position: relative;">{X=xk}{X=xk}\{X=x_k\}的概率，为
P\{X=x_k\}=p_k,\quad k=1,2,\cdots.\tag{1}
由概率的定义， pkpkp_k满足如下两个条件：
1∘1∘1^{\circ}，pk≥0,k=1,2,⋯;pk≥0,k=1,2,⋯;p_k\geq 0,\quad k=1,2,\cdots;
2∘2∘2^{\circ}，∑k=1∞pk=1.∑k=1∞pk=1.\sum\limits_{k=1}^{\infty}p_k=1.
我们称(1)(1)(1)为离散型随机变量XXX的分布律。分布律也可以用表格的形式来表示
(I)" role="presentation" style="position: relative;">(I)(I)(I)(0-1)分布(离散型)
设随机变量XXX只可能取0" role="presentation" style="position: relative;">000与111两个值，它的分布律是
P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1\quad (0
则称XXX服从以p" role="presentation" style="position: relative;">ppp为参数的(0−1)(0−1)(0-1)分布或两点分布。
(0−1)(0−1)(0-1)分布也可以写成
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即S={e1,e2}S={e1,e2}S=\{e_1,e_2\},我们总能在SSS上定义一个服从(0−1)" role="presentation" style="position: relative;">(0−1)(0−1)(0-1)分布的随机变量
X=X(e)=\left\{\begin{aligned}0,当e=e_1\\1,当e=e_2\\\end{aligned}\right.
(II)(II)(II)伯努利试验，二项分布(离散型)
设试验EEE只有两个可能结果：A" role="presentation" style="position: relative;">AAA与A¯¯¯¯A¯\overline{A}，则称EEE为伯努利试验(Bernoulli)试验。
。设P(A)=p(0<p<1)" role="presentation" style="position: relative;">P(A)=p(0<p<1)P(A)=p(0<p<1)P(A)=p(0
,此时P(A¯¯¯¯)=1−pP(A¯)=1−pP(\overline{A})=1-p.将EEE独立重复地进行n" role="presentation" style="position: relative;">nnn次，则称这一连串重复地独立试验为nnn重伯努利试验。
这里的重复是指在每次试验中P(A)=p" role="presentation" style="position: relative;">P(A)=pP(A)=pP(A)=p保持不变；
独立是指各次试验结果互不影响，即若以CiCiC_i记第iii次试验的结果，Ci" role="presentation" style="position: relative;">CiCiC_i为AAA或A¯，i=1,2,⋯,n." role="presentation" style="position: relative;">A¯¯¯¯，i=1,2,⋯,n.A¯，i=1,2,⋯,n.\overline{A}，i=1,2,\cdots,n.
独立是指
P(C_1C_2\cdots C_n)=P(C_1)P(C_2)\cdots P(C_n).
以XXX表示n" role="presentation" style="position: relative;">nnn重伯努利试验中事件AAA发生的次数，X" role="presentation" style="position: relative;">XXX是一个随机变量，我们求它的分布律。XXX的所有可能取值为0,1,2,⋯,n." role="presentation" style="position: relative;">0,1,2,⋯,n.0,1,2,⋯,n.0,1,2,\cdots,n.由于各次试验是相互独立的，因此事件AAA在指定的k(0≤k≤n)" role="presentation" style="position: relative;">k(0≤k≤n)k(0≤k≤n)k(0\leq k\leq n)次试验中发生，在其他n−kn−kn-k次试验中AAA不发生的概率为
\underbrace{p\cdot p\cdot\space\cdots\space\cdot p}_{\text{k}} \cdot\underbrace{(1-p)\cdot(1-p)\cdot\space\cdots\space\cdot(1-p)}_{\text{(n-k)}}=p^k(1-p)^{n-k}
这种指定的方式共有(nk)(nk)\begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}种，它们是两两互不相容的，故在nnn次试验中A" role="presentation" style="position: relative;">AAA发生kkk次的概率是(nk)pk(1−p)n−k" role="presentation" style="position: relative;">(nk)pk(1−p)n−k(nk)pk(1−p)n−k\begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k},记q=1−pq=1−pq=1-p，即有
P\{X=k\}=\begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,\cdots,n.
显然：
P\{X=k\}\geq0,k=0,1,2,\cdots,n;
\sum_{k=0}^{n}P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}=(p+q)^n=1
所以P{X=k}P{X=k}P\{X=k\}满足条件1∘,2∘1∘,2∘1^{\circ},2^{\circ}，注意到(nk)pkqn−k(nk)pkqn−k\begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}p^kq^{n-k}刚好是二项式(p+q)n(p+q)n(p+q)^n的展开式中pkpkp^k的那一项，我们称变量XXX服从参数为n,p" role="presentation" style="position: relative;">n,pn,pn,p的二项分布，并记为X∼b(n,p)X∼b(n,p)X\sim b(n,p).
特别的，当n=1n=1n=1时二项分布化为
P\{X=k\}=p^kq^{1-k},k=0,1
这就是(0−1)分布(0−1)分布(0-1)分布.
(III)(III)(III)泊松分布(离散型)
设随机变量XXX所有可能取值为0,1,2,⋯" role="presentation" style="position: relative;">0,1,2,⋯0,1,2,⋯0,1,2,\cdots,而取各个值得概率是
P\{X=k\}=\dfrac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots
其中λ>0λ>0\lambda>0是常数。则称XXX是服从参数λ" role="presentation" style="position: relative;">λλ\lambda的泊松分布，记为X∼π(λ)X∼π(λ)X\sim \pi(\lambda)
对于条件1∘,2∘1∘,2∘1^{\circ},2^{\circ}
P{X=k}≥0,k=0,1,2,⋯P{X=k}≥0,k=0,1,2,⋯P\{X=k\}\geq0,k=0,1,2,\cdots且有
\sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda}=1
泊松定理
设λ>0λ>0\lambda>0是一个常数，nnn是任意正整数，设npn=λ" role="presentation" style="position: relative;">npn=λnpn=λnp_n=\lambda,则对任意一个固定的非负整数kkk,有
\lim_{n\rightarrow\infty}\begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=\dfrac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}
证：
由pn=λnpn=λnp_n=\dfrac{\lambda}{n}有
\begin{aligned}\begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}&=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\\ &=\dfrac{\lambda^k}{k!}[1\cdot(1-\dfrac{1}{n})\cdots(1-\dfrac{k-1}{n})]\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-k}\\ \end{aligned}
对任意固定的kkk，当n→∞" role="presentation" style="position: relative;">n→∞n→∞n\rightarrow\infty
1\cdot(1-\dfrac{1}{n})\cdots(1-\dfrac{k-1}{n})\rightarrow1,\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n}\rightarrow e^{-\lambda},\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-k}\rightarrow1.
故有：
\lim_{n\rightarrow\infty}\begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=\dfrac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}
(IV)(IV)(IV)几何分布（离散）
如果XXX的概率分布为P{X=k}=qk−1p(k=1,2⋯;0<p<1;q=1−p)" role="presentation" style="position: relative;">P{X=k}=qk−1p(k=1,2⋯;0<p<1;q=1−p)P{X=k}=qk−1p(k=1,2⋯;0<p<1;q=1−p)P\{X=k\}=q^{k-1}p(k=1,2\cdots;0
则称XXX服从参数为P" role="presentation" style="position: relative;">PPP的几何分布，记为X∼G(p)X∼G(p)X\sim G(p)
(V)(V)(V)超几何分布（离散）
从一个有限总体中进行不放回抽样常会遇到超几何分布
设由NNN个产品组成的总体，其中含有M" role="presentation" style="position: relative;">MMM个不合格品，若从中随机不放回地抽取nnn个，其中含有不合格的产品个数X" role="presentation" style="position: relative;">XXX是一个离散型随机变量，假如n≤Mn≤Mn\leq M，则XXX的可能取值为0,1,⋯,n" role="presentation" style="position: relative;">0,1,⋯,n0,1,⋯,n0,1,\cdots,n;若XXX可能取值0,1,⋯,M" role="presentation" style="position: relative;">0,1,⋯,M0,1,⋯,M0,1,\cdots,M由古典方法
P\{X=x\}=\dfrac{C_{M}^{x}C_{N-M}^{n-x}}{C_{N}^{n}}\tag{*}
由组合等式
\sum_{x=0}^{r}C_{M}^{x}C_{N-M}^{n-x}=C_{N}^{n}
可以看出上述的概率之和为111,即∑x=0rP{X=x}=1" role="presentation" style="position: relative;">∑rx=0P{X=x}=1∑x=0rP{X=x}=1\sum_{x=0}^{r}P\{X=x\}=1故∗∗*式所表示的一组概率构成一个概率分布，这个分布称为超几何分布
它含有三个参数N,M,n" role="presentation" style="position: relative;">N,M,nN,M,nN,M,n记为X∼H(n,N,M)X∼H(n,N,M)X\sim H(n,N,M)
数学期望
若X∼H(n,N,M)X∼H(n,N,M)X\sim H(n,N,M)，则数学期望为
E(X)=\sum_{x=0}^{r}x\dfrac{C_{M}^{x}C_{N-M}^{n-x}}{C_{N}^{n}}=\dfrac{nM}{N}\sum_{x=1}^{r}\dfrac{C_{M-1}^{x-1}C_{N-M}^{n-x}}{C_{N-1}^{n-1}}=\dfrac{nM}{N}
当n≪Nn≪Nn\ll N（即抽取个数nnn远远小于产品数N" role="presentation" style="position: relative;">NNN）时，每次抽取后，总体中不合格品率p=MNp=MNp=\dfrac{M}{N}改变非常小，这时候的不放回抽样可以看成是放回抽样，这时候超几何分布可以用二项分布来近似。
随机变量的分布函数
设XXX是一个随机变量，x" role="presentation" style="position: relative;">xxx是任意实数，函数
F(x)=P\{X\leq x\},-\infty
称为XXX的分布函数。
对于任意实数x1,x2,(x1<x2)" role="presentation" style="position: relative;">x1,x2,(x1<x2)x1,x2,(x1<x2)x_1,x_2,(x_1,有
\begin{aligned}P \{x_1
因此如果已知XXX的分布函数，我们就知道X" role="presentation" style="position: relative;">XXX落在区间(x1,x2](x1,x2](x_1,x_2]上的概率。
如果将XXX看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)" role="presentation" style="position: relative;">F(x)F(x)F(x)在xxx处的函数值就表示X" role="presentation" style="position: relative;">XXX落在区间D(−∞,x](−∞,x](-\infty,x]上的概率。
分布函数F(x)F(x)F(x)具有以下的基本性质：
1∘1∘1^{\circ}:
F(x)F(x)F(x)是一个不减函数
事实上式(A)(A)(A)对于任意的实数x1,x2(x1<x2)x1,x2(x1<x2)x_1,x_2(x_1，有
F(x_2)-F(x_1)=P\{x_1
2∘2∘2^{\circ}:
0≤F(x)≤10≤F(x)≤10\leq F(x)\leq1，且
F(-\infty)=\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0,F(\infty)=\lim_{x\rightarrow\infty}F(x)=1
3∘3∘3^{\circ}:
F(x+0)=F(x)F(x+0)=F(x)F(x+0)=F(x)
连续型随机变量概率密度
如果对于随机变量XXX的分布函数F(x)" role="presentation" style="position: relative;">F(x)F(x)F(x),存在非负可积函数f(x)f(x)f(x),对于任意实数xxx有
F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\mathbb{d}t
则称XXX为连续型随机变量，f(x)" role="presentation" style="position: relative;">f(x)f(x)f(x)称为XXX的概率密度函数，简称概率密度
概率密度函数的性质：
1∘" role="presentation" style="position: relative;">1∘1∘1^{\circ}:
f(x)\geq0;
2∘2∘2^{\circ}:
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathbb{d}x=1
3∘3∘3^{\circ}:对于任意实数x1,x2(x1≤x2)x1,x2(x1≤x2)x_1,x_2(x_1\leq x_2),
P\{x_1
4∘4∘4^{\circ}:若f(x)f(x)f(x)在点xxx处连续，则有F′(x)=f(x)" role="presentation" style="position: relative;">F′(x)=f(x)F′(x)=f(x)F^{'}(x)=f(x)
若f(x)f(x)f(x)具备性质1∘,2∘1∘,2∘1^{\circ},2^{\circ},引入G(x)=∫x−∞f(t)dtG(x)=∫−∞xf(t)dtG(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\mathbb{d}t,它是某一随机变量XXX分布函数，f(x)" role="presentation" style="position: relative;">f(x)f(x)f(x)是XXX的概率密度。
三个重要的连续型随机变量
(VI)" role="presentation" style="position: relative;">(VI)(VI)(VI)均匀分布(连续型)
若连续型随机变量XXX具有概率密度
f(x)=\left\{\begin{aligned}&\dfrac{1}{b-a}&,a
则称XXX在区间(a,b)" role="presentation" style="position: relative;">(a,b)(a,b)(a,b)上服从均匀分布。记为X∼U(a,b)X∼U(a,b)X\sim U(a,b)
分布函数
F(x)=\left\{\begin{aligned} &0&,x
(VII)(VII)(VII)指数分布(连续型)
若连续型随机变量XXX具有概率密度
f(x)=\left\{\begin{aligned}&\dfrac{1}{\theta}e^{{-x}/{\theta}}&,x>0\\ &0&,其他\\ \end{aligned}\right.
分布函数
F(x)=\left\{\begin{aligned}&1-e^{-x/\theta}&,x>0\\ &0&,其他\\ \end{aligned}\right.
无记忆性：
对于任意的s,t>0s,t>0s,t>0,有
P\{X>s+t\mid X>s\}=P\{X>t\}
\begin{aligned}P\{X>s+t\mid X>s\}&=\dfrac{P\{(X>s+t)\cap(X>s)\}}{P\{X>t\}}\\ &=\dfrac{P\{X>s+t\}}{P\{X>t\}}=\dfrac{1-F(s+t)}{1-F(s)}\\ &=\dfrac{e^{-(s+t)/\theta}}{e^{-s/\theta}}=e^{-t/\theta}\\ &=P\{X>t\}\\ \end{aligned}
(VIII)(VIII)(VIII)正态分布(连续型)
若连续型随机变量XXX具有概率密度
f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty
其中μ,σ(σ>0)μ,σ(σ>0)\mu,\sigma(\sigma>0)为常数，则称XXX服从参数为μ,σ" role="presentation" style="position: relative;">μ,σμ,σ\mu,\sigma的正态分布或高斯分布，记为X∼N(μ,σ2)X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)
相关性质：
1∘1∘1^{\circ}:曲线关于x=μx=μx=\mu对称，这表明对于任意h>0h>0h>0有
P\{\mu-h
2∘2∘2^{\circ}:当x=μx=μx=\mu时取到最大值
f(\mu)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}
分布函数
F(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\dfrac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}\mathbb{d}t
标准正态分布
特别当μ=0,σ=1μ=0,σ=1\mu=0,\sigma=1时称变量XXX服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别用ϕ(x),Φ(x)" role="presentation" style="position: relative;">ϕ(x),Φ(x)ϕ(x),Φ(x)\phi(x),\Phi(x)表示，既有：
\phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\\ \Phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-t^2/2}\mathbb{d}t\\ 容易得到：\Phi(-x)=1-\Phi(x)
引理：
若X∼N(μ,σ2)X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)，则Z=X−μσ∼N(0,1)Z=X−μσ∼N(0,1)Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)
证：
\begin{aligned}P\{Z\leq x\}&=P\left\{\dfrac{X-\mu}{\sigma}\leq x\right\}\\ &=P\{X\leq \mu+\sigma x\}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\mu+\sigma x}e^{-\dfrac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}\mathbb{d}t\\ 令：\dfrac{t-\mu}{\sigma}=u，得\\ P\{Z\leq x\}&=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-u^2/2}\mathbb{d}u=\Phi(x)\\ \end{aligned}
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