今日头条2018校园招聘第一次笔试第二题“字符串拼接”题解（一维动态规划及递归解法）

3.24晚的笔试，结束后题目看不到了，有人截图了，来源：https://www.jianshu.com/p/00d3fd1d9e23

最新更新：在leetcode 上有一道类似的题，区别在于第一种操作没有s = s + s。leetcode上这道题可以看作是找到一个数n所有的素数因子之和；头条这题类似，是找到一个数n所有素数因子之和，再减去因子的个数。那么可以用动规，也可以递归。
下面给出递归的代码，非常简洁；

int recursion(int n) {if (n == 1) return 0;for (int i = 2; i <= int(sqrt(n)); i++)if (n % i == 0) return i - 1 + recursion(n / i);return n - 1;
}

然后我又想到了一个可以优化的地方，就是每次递归函数里的i只要从上一个因子开始找就行，改进后的代码：

int recursion(int n, int p) {if (n == 1) return 0;for (int i = p; i <= int(sqrt(n)); i++)if (n % i == 0) return i - 1 + recursion(n / i, i);return n - 1;
}

由于看到很多人给出的都是广度优先搜索（BFS）的解法，或者是二维动态规划的解法；前者是指数时间的算法，后者时间、空间复杂度均为O(n^2)。本文提出一种多项式复杂度解法，时间复杂度O(n^(1.5))，空间复杂度O(n)的一维动态规划。
递推公式：dp[i] = p - 1 + dp[(i / p)]; p 是从小到大第一个能整除i的数（从2开始找，实际上只要找素数就行）。

int DP(int n) {vector<int> dp(n+1, 0);dp[1] = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {for (int j = 2; j <= int(sqrt(i)); j++) {if (i % j == 0) {dp[i] = j - 1 + dp[i/j];break;}}if (dp[i] == 0) dp[i] = i - 1;}return dp[n];
}

实际上上面的代码可以优化的地方：先计算出1~sqrt(n)范围内的所有素数;然后只要在这些素数里找到第一个符合条件(整除)的素数就行。所以平均的时间复杂度几乎是线性的。
下面是优化后的代码：

int DP(int n) {vector<int> prime;for (int i = 2; i <= int(sqrt(n)); i++) {int flag = true;for (int j = 2; j <= int(sqrt(i)); j++) {if (i % j == 0) { flag = false; break; }}if (flag) prime.emplace_back(i);}vector<int> dp(n+1, 0);dp[1] = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {for (int j = 0; j < prime.size() && prime[j] <= int(sqrt(i)); j++) {if (i % prime[j] == 0) {dp[i] = prime[j] - 1 + dp[i/prime[j]];break;}}if (dp[i] == 0) dp[i] = i - 1;}return dp[n];
}

测试了一下性能，当n为1000000时，也只需要0.25s的时间；

第一次在CSDN上发博客，不太熟悉排版，请见谅。如有错误，欢迎讨论。

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