浅谈双线程dp

先看问题：

传纸条（一）

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难度：5

描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-1000的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入

第一行输入N(0<N<100)表示待测数据组数。
每组测试数据输入的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（2<=m,n<=50）。
接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度（不大于1000）。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出

每组测试数据输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例输入

样例输出

来源

NOIP2008

上传者

hzyqazasdf

如果是从左上角跑到右下角求最大值相信就是一个数塔问题（不懂的请见 http://blog.sina.com.cn/s/blog_65caa9780100xrq6.html 第一个问题）

只能向右和向左

数塔问题的动态转移方程： dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

现在题目要求我们还得回去所以我们可以理解为两点同时走从起点走不同路线到终点的最大值

定义状态： dp[i][j][x][y] 为两个点（i，j）和（x，y）的最大值

dp[i][j][x][y] = max( max(dp[i-1][j][x-1][y] , dp[i-1][j][x][y-1] ), max( dp[i][j-1][x-1][j] , dp[i][j-1][x][j-1]));//解释一下左和上两方向

代码：


#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;
const int N = 52;
int dp[N][N][N][N];
int a[N][N];
int main()
{
//    freopen("Input.txt","r",stdin);int T;scanf("%d",&T);while(T--){int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&a[i][j]);}memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){for(int x = 1;x<=n;x++){for(int y=2;y<=m;y++){int tmp = max( max(dp[i-1][j][x-1][y],dp[i-1][j][x][y-1]),max(dp[i][j-1][x-1][y],dp[i][j-1][x][y-1]) );if(x<i){dp[i][j][x][y] =tmp + a[i][j] + a[x][y];
//                            puts("A");}else{if(y>j){dp[i][j][x][y] = tmp + a[i][j] + a[x][y];
//                                printf("B :%d\n",tmp);}}
//                        printf("%d %d %d %d %d %d\n",i,j,x,y,a[x][y],dp[i][j][x][y]);}}}}printf("%d\n",dp[n][m-1][n-1][m]);}return 0;
}

结果：超时了！

说明四层循环不行转移方程得优化

dp[i][j][x][y] = max( max(dp[i-1][j][x-1][y] , dp[i-1][j][x][y-1] ), max( dp[i][j-1][x-1][j] , dp[i][j-1][x][j-1]))+Map【i】【j】+Map【x】【y】;

观察转移方程不难发现点（i-1，j）（i，j-1）（x，y-1）（x-1，y）的和是相同的

于是我们可以设他们的和为 k = i +j-1

这里的 i代表上面的i j 代表上面的 x

y1 = k-i//第一个点的纵坐标

y2 = k-j//第二个点的纵坐标

dp[k][i][j]=max(max(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][j-1]),max(dp[k-1][i-1][j],dp[k-1][i-1][j-1]))+Map[i][y1]+Map[j][y2]

于是就完成了用两个点对图的最大化


#include<bits/stdc++.h>//有些oj可能不支持
using namespace std;
int Map[55][55];
int dp[110][55][55];
int main()
{int t;scanf("%d",&t);while(t--){memset(Map,0,sizeof(Map));memset(dp,0,sizeof(dp));int m,n;scanf("%d%d",&m,&n);for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&Map[i][j]);int k,i,j;for(k=2;k<=m+n;k++){for(i=1;i<=m;i++){for(j=1;j<=m;j++){int y1 = k-i;int y2 = k-j;if(y1>n||y1<0||y2>n||y2<0){continue;}if(y1==y2)continue;dp[k][i][j] = max(max(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i-1][j]),max(dp[k-1][i][j-1],dp[k-1][i-1][j-1]))+Map[i][k-i]+Map[j][k-j];}}}printf("%d\n",dp[m+n-1][m][m-1]);}
}

#include<bits/stdc++.h>//<strong style="font-family: Tahoma, Arial, sans-serif, simsun; background-color: rgb(255, 255, 255);"></strong><pre name="code" class="cpp" style="display: inline !important;">有些oj可能不支持

using namespace std;int dp[110][55][55];int Map[55][55];int main(){ int t; scanf("%d",&t); while(t--) { int n,m; scanf("%d%d",&m,&n); for(int i = 1;i <= m; i++) { for(int j = 1;j <= n; j++) { scanf("%d",&Map[i][j]); } } int k,i,j; dp[2][1][1] = Map[1][1]; for(k = 3;k <= m+n; k++) { for(int i = 1;i <= m; i++) { for(int j = 1; j <= m;j++) { int y1 = k-i; int y2 = k-j; if(y1 > n||y2 > n||y1 < 0|| y2 < 0) continue; dp[k][i][j] = max(max(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][j-1]),max(dp[k-1][i-1][j],dp[k-1][i-1][j-1]))+Map[i][y1]+Map[j][y2]; } } } printf("%d\n",dp[n+m-1][m-1][m-1]+Map[m][n]); }}