等面积圆柱投影的证明

等面积投影的全称是：正球在正轴的圆柱上进行等面积投影，下面简称等积圆柱投影。等积圆柱投影是4大圆柱投影之一，其特点是，通过等积投影出的地图上，每个国家的面积不失真（但是形状会失真），比如下面这个世界地图：

从图中可以感受到非洲有多大，南极洲有多小，而人间常用的等角圆柱投影（Mercator投影）中，非洲小的可怜，南极大到离谱，所以说，等积投影能正确的展示每个主权国家的战略纵深，哈哈。这个投影很简单，想象地球卡在一个等高的圆柱中，圆柱的高等于球的直径，然后沿平行于赤道平面的方向投影，如下图：

因此很容易得出，等积投影的世界地图，宽高比是2πR : 2R = π : 1，而非常见的正方形地图（Mercator）。而地图的面积等于2πR * 2R = 4πR²，地球的表面积公式也是4πR²，因此投影总面积与原始总面积相等，但这并不能证明每个国家的面积也与实际相符，下面我们要来证明，地球（将地球看作正球体）上任意一块区域，等积投影后，面积不变。首先无论哪种圆柱投影，经线的投影都是均匀分布的，我们只要证明，在任意2段纬线之间的面积不变即可，再简化，我们只要证明，从赤道到北纬ϕ°之间的面积等于矩形地图上，从水平中线到同等高度之间的面积，也就是S = 2πR * R * Sin(ϕ) = 2πR²Sin(ϕ)。首先将北纬ϕ微分成dϕ，也就是将0到ϕ之间的表面水平分割为无穷个圆环，圆环的宽度为Rdϕ，当ϕ趋于0，圆环趋向于圆柱，圆柱的周长是2πRCos(ϕ)，因此小圆柱的面积微元是dS = 2πR²Cos(ϕ)dϕ，最后从赤道0°到北纬ϕ°来一个积分，得到2πR²Sin(ϕ)，等于矩形地图中的相应面积：

因此，任意2个纬度线之间的面积也不变，再考虑到经线分布的均匀性，任意的经纬度区域内的小矩形面积不变，而任何不规则图形都可以由若干个这样的小矩形组成，从而推广到，任意的国家面积投影后不变。

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