等角切圆柱投影的证明

前两篇文章介绍了四大圆柱投影之等面积投影，这次来介绍四大投影中最常用的一个：等角圆柱投影，也叫墨卡托投影（Mercator），以下简称等角投影。等角投影的完整定义是【正球在相切的（正轴的）圆柱上进行等角投影】，和四大圆柱投影的定义一样，唯一的不同是“等角”的特点，这里“等角”指相似的形状，也就是不同比例缩放的图形：地球表面上任意的图形（足够小）投影到圆柱上，形状不变，如下图所示：

图中，不同纬度有不同大小的圆，但圆不会变成椭圆，故曰等角。还能看出，这张图片的宽高比是1 : 1，同时纬度85°以上的地区都砍掉了，而之前的等面积投影的宽高比是π : 1，可以覆盖全球，这些后面会解释。首先根据前面介绍的的知识，所有的正轴切圆柱投影中，经度都是均匀分布的X=R·λ，所以南北纬φ°线上任何图形在水平方向上都放大了sec(φ)倍，为了保持面积不变，等积投影选择在垂直方向上缩小sec(φ)倍，而等角投影为了让形状不变，只得在垂直方向上也放大sec(φ)倍。

当无穷小时，上图中2个四边形相似，且边长的比值是1 : Sec(φ)，所以在垂直方向很容易得到δy = R·δφ·Sec(φ)，而y'(φ) = δy / δφ，所以y'(φ) = R·Sec(φ)。因此通过0~φ的积分可以求得y关于φ的投影公式。

等角圆柱投影公式是4大圆柱投影中最复杂的了，但证明起来却很简单，主要是原函数比较长。我们观察一下这个公式，当φ接近90°时，y趋向于无穷大，因此等角投影通常无法表示南北极地区，无法覆盖全球，因此投影时需要将某一纬度以上的区域裁剪掉，在大地测量学中，人们约定俗成：当投影地图的宽度=高度时的纬度作为裁剪线，这样的地图作为正方形能带来数不尽的便利，尤其是在WebGIS中已经成了既成事实的标准。令y = πR，求得φ = 85.05112877980659°，正好覆盖了地球上绝大部分区域，因此我们日常看到的世界地图都是85°纬线以内的等角圆柱投影。

等角切圆柱投影的证明相关推荐

正轴等距离切圆柱投影
讲完了<等面积投影>和<等角投影>,<等距离投影>在y轴的拉伸程度介于前两种投影之间,投影地图的宽高比是2 : 1,介于等面积投影的π : 1与等角投影的1 : 1 ...
等面积圆柱投影的证明
等面积投影的全称是:正球在正轴的圆柱上进行等面积投影,下面简称等积圆柱投影.等积圆柱投影是4大圆柱投影之一,其特点是,通过等积投影出的地图上,每个国家的面积不失真(但是形状会失真),比如下面这个世界地 ...
QGIS基本功 | 15 圆柱投影、圆锥投影和方位投影
根据投影面不同,几何投影分为圆锥投影.圆柱投影和平面(方位)投影,本文将从概念.经纬线形状.变形.应用场景三个方面逐个解释上述投影的特点. 01 圆锥投影假定以圆锥面作为投影面,使圆锥面和地球体相 ...
科普 | 同一个世界，地图有这么多不同的表达！
来源:测绘学报一.地图投影的概念地球到底是什么样的?公元前6世纪,古希腊数学家毕达哥拉斯率先提出了"地圆说".他在观察月食时,发现大地在月球上的投影是圆的,所以认为大地是完整的 ...
[转]使用QT开发GoogleMap瓦片显示和下载工具
第一节之前做项目的时候经常遇到需要大量地图背景数据,然后没有数据被逼着去Google上下载瓦片数据在拼接成整张影像的工作,其实遥感影像晚上有很多可以下载到的,但是大部分是作为研究用的,作为GIS的背 ...
地图投影系列介绍（四）----投影坐标系
4.4 我国常用地图投影  我国基本比例尺地形图(1:100万.1:50万.1:25万.1:10万.1:5万.1:2.5万.1:1万.1:5000)除1:100万以外均采用高斯-克吕格Gauss-K ...
JTS Java空间几何计算、距离、最近点、subLine等计算
文章目录前言地理坐标系和投影坐标系地理坐标系投影坐标系地图投影墨卡托/Web墨卡托常见坐标系地理坐标系和投影坐标系互转 EPSG:3857和EPSG:4326 Java各坐标系之间的转 ...
JTS Java空间几何计算、距离、最近点、subLine等稳健的一比，持续更新中
文章目录前言地理坐标系和投影坐标系地理坐标系投影坐标系地图投影墨卡托/Web墨卡托常见坐标系地理坐标系和投影坐标系互转 EPSG:3857和EPSG:4326 Java各坐标系之间的转 ...
投影坐标系、大地坐标系（地理坐标系）
坐标系我一直很迷,就慢慢记录成长吧. – 我国规定1:1万.1:2.5万.1:5万.1:10万.1:25万.1:50万比例尺的地形图均采用高斯克吕格投影(横轴等角切圆柱投影): 特点: <1&g ...

等角切圆柱投影的证明

等角切圆柱投影的证明相关推荐

最新文章

热门文章