毕达哥拉斯定理（又称勾股定理）的证明

前言

最近在拜读欧几里得的数学著作《原本》看到命题1.47
对毕达哥拉斯定理的证明，从几何角度上来证明，还是非常有意思的

毕达哥拉斯定理，又称勾股定理或毕氏定理。是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
毕达哥拉斯定理的定义：

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。

下面讲《原本》中对毕达哥拉斯定理的证明方式
如同老爹说的一样： ”要用魔法打败魔法“
我们也 要用几何证明几何

在证明中我们要用到如下三个辅助定理（只涉及初中数学知识）：
1.全等三角形判定方法：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等.

2.三角形面积是其与之同底同高的平行四边形面积的一半。

3.正方形的基本性质：
正方形的四边长度相等
正方形的面积等于其二边长的乘积（即一边长的平方）

设计如下图

设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。
在△ABC各边上向外做正方形 ABFG, ACIH,BCDE.
从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
所以正方形BCED的面积 = 长方形BDLK的面积 + 长方形KCEL的面积

我们只要证明
两个小正方形面积之和等于大正方形的面积
即 BC² = AB² + AC² 就行了

证明开始
分别连接 CF,AD，形成两个三角形 CBF, DBA
由正方形FBAG 和正方形BCED 可知：
FB = AB, BC = BD, 角FBA = 角CBD = 90度
角FBC = 角FBA + 角ABC,角ABD = 角CBD + 角ABC, 所以角FBC = 角ABD
根据三角形全等 SAS定理
△FBC 全等于 △ABD

再根据辅助定理：三角形面积是其与之同底同高的平行四边形面积的一半
△FBC 同底同高的平行四边形是ABFG
△ABD 同底同高的平行四边形是BKLD
所以 正方形ABFG的面积 = 长方形BKLD的面积

再分别连接 BI,AE，形成两个三角形 ACE,BCI
由正方形ACIH和正方形BCED 可知：
BC = CE,AC = CI,角ACI= 角BCE = 90度
角BCI= 角ACI + 角ACB, 角ACE = 角BCE + 角ACB, 所以角BCI = 角ACE
根据三角形全等 SAS定理
△BCI 全等于 △ACE

再根据辅助定理：三角形面积是其与之同底同高的平行四边形面积的一半
△BCI 同底同高的平行四边形是ACIH
△ACE 同底同高的平行四边形是KCEL
所以 正方形ACIH的面积 = 长方形KCEL的面积

因为正方形BCED的面积 = 长方形BDLK的面积 + 长方形KCEL的面积
所以 正方形BCED的面积 = 正方形ABFG的面积 + 正方形ACIH的面积

又因为正方形的面积等于其二边长的乘积
所以BC² = AB² + AC²
即 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

证讫

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