Python版-LeetCode 学习：322 零钱兑换问题

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

说明:你可以认为每种硬币的数量是无限的。
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change

解题思考：

硬币问题可以用数学表述成如下形式：

在不断的迭代dp()中，当出现n-coin==0时，兑换零钱加一次。

从递归的迭代过程思考，可以画出迭代树表示，例如假设amount=9，coins={1,2,5}

图中相同颜色的色块是在迭代过程中重复计算的部分。

方法1：递归

递归算法的时间复杂度分析：子问题总数 x 每个子问题的时间。

子问题总数为递归树节点个数，这个比较难看出来，是 O(n^k)，总之是指数级别的。每个子问题中含有一个 for 循环，复杂度为 O(k)。所以总时间复杂度为 O(k * n^k)，指数级别

class Solution:def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:def count(n):# 基本情况的判定if n==0 : return 0if n<1 : return -1# 初始化min_coins=float('INF')for coin in coins:# 子问题的分解subproblem=count(n-coin)if subproblem == -1:continue# min_coins=min(min_coins,1+subproblem)# 如果一直continue，min_coins 不变，就代表没有可以分的可能return min_coins if min_coins !=float('INF') else -1return count(amount)

方法二：加入记录表的迭代

「记录表」大大减小了子问题数目（即替代了上图中部分同色块的数值计算），完全消除了子问题的冗余，所以子问题总数不会超过金额数 n，即子问题数目为 O(n)。处理一个子问题的时间不变，仍是 O(k)，所以总的时间复杂度是 O(kn)。

class Solution:def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:memo={}def count(n):# 查找子问题的值if n in memo:return memo[n]if n==0 : return 0if n<1 : return -1# 初始化min_coins=float('INF')for coin in coins:# 子问题分解subproblem=count(n-coin)if subproblem == -1:continuemin_coins=min(min_coins,1+subproblem)# 存储子问题的解memo[n]= min_coins if min_coins !=float('INF') else -1return memo[n]return count(amount)

方法三：用list代替dict中间表的迭代

采用“由底向上”的方式，从1，2，3。。。开始计算，直到n。

class Solution:def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:# 初始化结果集# 每一个下标对应对应amount，下标对应的最后元素值就是零钱的最小个数res=[float('INF')]*(amount+1)res[0]=0for i in range(amount+1):for coin in coins:# 不可分就下一轮if (i-coin) <0: continue# 对每一个i进行计算res[i]=min(res[i],1+res[i-coin])if res[amount] == float('INF'):return -1else:return res[amount]

方法四：利用整除减少循环次数

每次递归中判断剩余的amount%nums[index]是不是为0，如果是的话，表示当前的coins[index]可以将amount塞满，那么此时就是最优解了，记录下来；如果不是的话，那么我们只需要递归判断需要多少个coins[index]即可。如果遍历到最后一个coins[-1]且无法塞满amount的话，那么无解。

最后还有一个非常重要的剪枝，如果当前硬币coins[index]（放满amount）放入后，硬币数比之前的结果都大的话，那么就不用继续判断后面的硬币了（因为硬币是排序过的）。

class Solution:def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:n = len(coins)coins.sort(reverse=True)self.res = float("inf")def dfs(index,target,count):coin = coins[index]if math.ceil(target/coin)+count>=self.res:returnif target%coin==0:self.res = count+target//coinif index==n-1:returnprint([range(target//coin,-1,-1)])for j in range(target//coin,-1,-1):dfs(index+1,target-j*coin,count+j)dfs(0,amount,0)return int(self.res) if self.res!=float("inf") else -1

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