322.零钱兑换五种方法讲解

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322.零钱兑换五种方法讲解
- 1 问题描述
- 2 问题分析
- 3 解决策略
- - 3.1 递归-暴力解决
- 3.2 递归-加入存储
- 3.3 BFS
- 3.4 动态规划-自上而下
- 3.5 动态规划-自下而上

1 问题描述

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

2 问题分析

给人的第一直接就是让程序去尝试所有的可能性，然后将其中所需硬币数量最少的结果进行返回。当需要尝试所有可能性的时候，我们往往会用到树（Tree）这种数据结构。我们假设以coins=[1,2,5], amount=11为例子，试图去用树对这个问题进行建模。我们假定每个节点的数字代表的是当前的金额。

可以看到，从根节点11出发，我们有三个硬币，所以有三个分支，而每一个金额又可以对应新的三个节点，如果节点的值为0，也就是说当前的金额就是0，说明任务完成了，我们成功凑出了金额，如果小于0，那就说明当前分支不能够凑出该金额。

3 解决策略

3.1 递归-暴力解决

根据上面的分析，发现这个问题很容易可以被拆解成递归的方式去解决，每个子问题就是找到当前金额所需的最少硬币数量，如果当前金额为0，那么就返回当前硬币的数量，这是递归的退出条件之一，除此之外，当金额小于0时，也需要返回值。考虑到所需要的硬币数量不可能大于amount + 1，在金额小于0时，说明不可以凑成我们想要的数，那么我们就返回一个amount + 1来表示当前的分支是不能凑成所需金额的。

class Solution(object):def coinChange(self, coins, amount):def helper(coins, curAmount, numOfCoins):globalMin = amount + 1if curAmount == 0:return numOfCoinsif curAmount < 0:return amount + 1for coin in coins:curMin = helper(coins, curAmount - coin, numOfCoins + 1)globalMin = min(curMin, globalMin)return globalMinreturn helper(coins, amount, 0)

时间复杂度：O(nS)O(n^S)O(nS)，其中 S 是要凑的金额数amount，而 n 是所拥有的硬币数量。这是因为考虑到树结构最多的层数不会超过SSS，而分支的数量则取决于硬币的个数。
空间复杂度：O(S)O(S)O(S)，因为至多需要存储SSS个值来得到amount。

3.2 递归-加入存储

如果细心的话会发现，在计算过程中有很多重复计算的部分，所以我们可以加入存储，如果当前的金额已经被计算出来，那我们就直接返回结果即可。

class Solution(object):def coinChange(self, coins, amount):self.cache = {}def helper(coins, curAmount):if curAmount in self.cache:return self.cache[curAmount]globalMin = amount + 1if curAmount == 0:return 0if curAmount < 0:return amount + 1for coin in coins:curMin = helper(coins, curAmount - coin)if curMin == globalMin:continueglobalMin = min(curMin + 1, globalMin)self.cache[curAmount] = globalMinreturn globalMinresult = helper(coins, amount)return -1 if result == amount + 1 else result

这样做之后时间复杂度就可以减少到O(Sn)O(Sn)O(Sn)，这是因为每一次的计算步骤至多需要SSS次运算，而我们每次都需要计算所有不同面额的硬币的可能性，所以一共需要计算两者的乘积。

3.3 BFS

上述两种递归方法更偏向于深度优先遍历，但是就我们的问题而言，其实并不需要这样做，实际上，如果使用BFS遍历的方法，当我们找到第一次amount为0的时候，就已经代表我们找到了结果，因为当前树的层数一定是最少的。

import collections
class Solution(object):def coinChange(self, coins, amount):q = collections.deque([(amount, 0)])seen = set([amount])while q:curAmount, numOfCoins = q.popleft()if curAmount == 0:return numOfCoinsfor coin in coins:if curAmount - coin >= 0 and curAmount - coin not in seen:q.append((curAmount - coin, numOfCoins + 1))seen.add(curAmount - coin)return -1

3.4 动态规划-自上而下

如果从动态规划的角度来考虑问题，还是以老例子为例，想要求解F(11)F(11)F(11)，那其实就是求解min(F(11−coin1)+1,F(11−coin2)+1,F(11−coin3)+1)min(F(11-coin_1)+1, F(11-coin_2)+1,F(11-coin_3)+1)min(F(11−coin1)+1,F(11−coin2)+1,F(11−coin3)+1)，而当中的每一项都可以被继续分解，直到F(0)F(0)F(0)。而F(0)F(0)F(0)的意思是凑出0元所需的硬币个数，结果显然是0。

class Solution(object):def coinChange(self, coins, amount):seen = {}def helper(curAmount):if curAmount in seen:return seen[curAmount]if curAmount == 0:return 0if curAmount < 0:return amount + 1minNumOfCoins = amount + 1for coin in coins:minNumOfCoins = min(helper(curAmount - coin) + 1, minNumOfCoins)seen[curAmount] = minNumOfCoinsreturn minNumOfCoinsresult = helper(amount)return result if result != amount + 1 else -1

3.5 动态规划-自下而上

有了上面的思路，我们同样可以从反方向来考虑这个问题，先给定F(0)F(0)F(0)，然后再去求解F(1)F(1)F(1)，F(2)F(2)F(2)，以此类推，直到F(amount)F(amount)F(amount)为止。

import collections
class Solution(object):def coinChange(self, coins, amount):q = collections.deque([(amount, 0)])seen = set([amount])while q:curAmount, numOfCoins = q.popleft()if curAmount == 0:return numOfCoinsfor coin in coins:if curAmount - coin >= 0 and curAmount - coin not in seen:q.append((curAmount - coin, numOfCoins + 1))seen.add(curAmount - coin)return -1

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