概论第7章_参数估计_点估计的评价标准_相合性_无偏性

点估计的评价标准包括：相合性，无偏性，有效性。

一. 相合性

衡量一个估计是否可行的必要条件，就是估计的相合性。
本文不提其定义了。直接给出一些结论。
结论
设有正态总体N( μ , σ 2 \mu, \sigma^2 μ,σ2) 的样本，则有

x ‾ \overline x x 是 μ \mu μ 的相合估计。
样本二阶中心矩 s n 2 = s_n^2 = sn2= 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline x) n1i=1∑n(xi−x) 是 σ 2 \sigma^2 σ2的相合估计。
样本方差 s 2 s^2 s2 也是 σ 2 \sigma^2 σ2的相合估计。

设有均匀总体U(0, θ \theta θ)的样本， θ \theta θ 的极大似然估计是相合估计。

二. 无偏性

2.1 定义
设 θ ^ = θ ^ ( x 1 , . . . , x n ) \hat\theta=\hat\theta(x_1, ..., x_n) θ^=θ^(x1,...,xn) 是 θ \theta θ的一个估计， θ \theta θ 的参数空间为 Θ \Theta Θ, 若对任意的 θ ∈ Θ \theta \in \Theta θ∈Θ, 有

E( θ ^ \hat\theta θ^)= θ \theta θ

则称 θ ^ \hat\theta θ^ 是 θ \theta θ 的无偏估计，否则称为有偏估计。
~~
无偏性要求可以改写为 E ( θ ^ − θ ) = 0 E(\hat\theta - \theta) = 0 E(θ^−θ)=0, 这表示无偏估计没有系统偏差。

无偏性不具有不变性。若 θ ^ \hat\theta θ^ 是 θ \theta θ 的无偏估计，一般而言g ( θ ^ ) (\hat\theta) (θ^)不是g ( θ ) (\theta) (θ)的无偏估计，除非g ( θ ) (\theta) (θ)是 θ \theta θ的线性函数。
例如：样本方差 s 2 s^2 s2是 σ 2 \sigma^2 σ2的无偏估计，但 s 不是 σ \sigma σ的无偏估计。

考点1. 无偏性：系数之和为1，是最无偏的估计。

看例题

三. 有效性

所谓有效性，是建立在无偏估计的基础上
定义：设 θ ^ 1 \hat\theta_1 θ^1, θ ^ 2 \hat\theta_2 θ^2 是 θ \theta θ 的两个无偏估计，如果对任意的 θ ∈ Θ \theta \in \Theta θ∈Θ 有

D( θ ^ 1 ⩽ \hat\theta_1\leqslant θ^1⩽ D( θ ^ 2 \hat\theta_2 θ^2)

且至少有一个 θ ∈ Θ \theta\in\Theta θ∈Θ 使得上述不等号严格成立，则称 θ ^ 1 \hat\theta_1 θ^1 比 θ ^ 2 \hat\theta_2 θ^2 有效。
考点2. 有效性：系数方差最小的是最有效的

例题 2011.7
设 x 1 , x 2 x_1, x_2 x1,x2来自任意总体 X的2个样本，则E(X)的无偏估计量中，最有效的估计量是( )

A. 2 3 x 1 + 1 3 x 2 \frac{2}{3}x_1+\frac{1}{3}x_2 32x1+31x2 B. 1 4 x 1 + 3 4 x 2 \frac{1}{4}x_1+\frac{3}{4}x_2 41x1+43x2 C. 2 5 x 1 + 3 5 x 2 \frac{2}{5}x_1+\frac{3}{5}x_2 52x1+53x2 D. 1 2 x 1 + 1 2 x 2 \frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}x_2 21x1+21x2

解：用瞪眼法，易知 D系数方差最小，为最有效。
答案： D