统计学3：中心极限定理、参数估计：点估计和区间估计（置信区间）
1、中心极限定理 (Central Limit Theorem)
1）中心极限定理（就是描述样本均值的分布情况）
随着样本容量(Sample size) n趋于无穷，
- 样本均值(Sampling Distribution of the Sample Mean)的分布越接近正态分布
- 样本均值的标准差(Standard Error of the Mean) 变小：偏度(Skew)更接近于0，峰度(Kurtosis)也更接近于0
- 这里样本均值指的是选取多个样本，每个样本可以求出一个样本均值，多个样本均值的分布符合正态分布
大数定律 Law of Large Number：随着样本容量n越大，样本均值越接近总体均值
除了样本均值，样本众数、样本和，样本极差等统计量也适用
一般n>30即可看作样本均值为正态分布
2）样本均值的抽样分布
样本均值的标准差(Standard Error of the Mean)
σx‾=σn\sigma_{\overline{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}σx=nσ
偏度 (Skew)
峰度(Kurtosis)
3）利用标准正态分布求概率的方法
- 确定分布（均值μ\muμ和标准差σ\sigmaσ）与范围
- 标准化，使其均值为0，标准差为1，得出标准正态变量Z，Z∼N(0,1)Z\sim N\left(0,1\right)Z∼N(0,1)
- 查概率表
标准化是为了使其对应查找标准正态分布概率表
4）实例
（1）男性在户外活动时平均喝2L水（标准差是0.7L）。50人全天户外旅行，准备110L水．这些水不够的概率是多少？
- 确定分布
50个人看作样本，样本容量 n=50n=50n=50
50人准备110L水，即平均喝水 x‾=110/50＝2.2L\overline{x}=110/50＝2.2Lx=110/50＝2.2L，均值分布服从正态分布
求水不够的概率，等价于求平均喝水超过2.2L的概率P(x‾>2.2)=?P\left(\overline{x}>2.2\right)=?P(x>2.2)=?
样本均值抽样分布的标准差σx‾=σn≈0.099\sigma_{\overline{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\approx0.099σx=nσ≈0.099
- 标准化
z=x‾−μσ=2.2−20.099≈2.02z=\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma}=\frac{2.2-2}{0.099}\approx 2.02z=σx−μ=0.0992.2−2≈2.02 - 查概率表
查表可知P(Z>2.02)=1−0.9783=0.0217P\left(Z>2.02\right)=1-0.9783=0.0217P(Z>2.02)=1−0.9783=0.0217
2、参数估计：点估计
x‾：样本均值μ:总体均值μ^:总体均值的点估计\overline{x}：样本均值\\ \mu:总体均值\\\hat\mu:总体均值的点估计x：样本均值μ:总体均值μ^:总体均值的点估计
均值的点估计：:μ^=x‾\hat\mu=\overline{x}μ^=x
S2:样本方差σ2:总体方差σ^2:总体方差的点估计S^2:样本方差\\\sigma^2:总体方差\\\hat\sigma^2:总体方差的点估计S2:样本方差σ2:总体方差σ^2:总体方差的点估计
方差的点估计（用样本数据估计总体方差）：σ^2=S2=∑(x−x‾)2n−1\hat\sigma^2=S^2=\frac{\sum_({x-\overline{x}})^2}{n-1}σ^2=S2=n−1∑(x−x)2
2) 区间估计
其实就是求置信区间 见下
3、参数估计：区间估计——求置信区间
1）置信区间是什么？
在样本估计总体均值时，我们需要知道估计的准确度，因此选定一个区间[a,b]，目的是让这个区间包含总体均值，这个区间叫做置信区间。
对于这个区间有多大概率包含总体均值，这个概率称为置信水平，是我们对这个范围的可信程度。。置信水平是根据实际问题自己确定的，一般设定为95%即两个标准差。
2）怎么计算置信区间？（结合例子更具体的讲解可以看深入浅出统计学）
解题的时候要区分清楚哪些是样本统计量（已知），哪些是总体统计量（未知，通过点估计得出）
- 选择总体统计量
即确定你要求的那个总体均值 μ\muμ - 求样本均值的抽样分布
1)计算样本均值 x‾\overline{x}x
2)计算样本均值标准差 σx‾=σn≈Sn\sigma_{\overline{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt n}\approx \frac{S}{\sqrt n}σx=nσ≈nS
（由于事先我们并不知道总体的标准差。因此要用样本方差作为总体方差的估计（点估计），需注意是会跟随样本的变化而变化。）
3)得出样本均值的分布：X‾∼N(x‾,σx‾)\overline{X}\sim N\left(\overline{x},\sigma_{\overline{x}}\right)X∼N(x,σx)，因为这里就是通过样本均值估计总体均值的区间，所以把x‾\overline{x}x换成μ\muμ，X‾∼N(μ,σx‾)\overline{X}\sim N\left(\mu,\sigma_{\overline{x}}\right)X∼N(μ,σx) - 确定置信水平
- 求出置信上下限
1)当样本容量较大（>30）时，查找z表格；
a. 标准化
即把X‾∼N(μ,σx‾)\overline{X}\sim N\left(\mu,\sigma_{\overline{x}}\right)X∼N(μ,σx)转换成标准正态分布Z‾∼N(0,1)\overline{Z}\sim N\left(0,1\right)Z∼N(0,1)，Z就是标准化后的X‾\overline{X}X Z=x‾−μσx‾Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma_{\overline{x}}}Z=σxx−μ
b. 用μ\muμ改写不等式
（以置信水平为95%为例）
P(−1.96<Z<1.96)=0.95P(−1.96<x‾−μσx‾<1.96)=0.95P(-1.96<Z<1.96)=0.95\\P(-1.96<\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma_{\overline{x}}}<1.96)=0.95P(−1.96<Z<1.96)=0.95P(−1.96<σxx−μ<1.96)=0.95
其中x‾、σx‾\overline{x}、\sigma_{\overline{x}}x、σx已知，带入求出a<μ<ba<\mu<ba<μ<b即可得出置信区间(a,b)
置信区间简便算法，用下面的表可以取代第4步，直接带入求出
2)当样本容量较小（<30）时，为t分布，确定自由度(degrees of freedom) t=n-1，查找t分布表（跟正态分布的计算差别只在查表，其他都相同）
3）实例
(1) 某地区教学区获得一批技术拨款，用于在教师中安排4台一组的计算机．该区总共有6250名教师，随机抽取250名，并且问他们是否认为计算机是教师必备的教学工具．抽取的教师中，有142名认为计算机是教学必备的工具．
问题1：
计算一个99％置信区间，其中教师认为计算机是必备的教学工具．
定义：
1表示计算机被认为是必备工具，占比为p，
0表示计算机被认为不是必备工具，占比为q=1-p．
z表格的值应该为0.99/2+0.5＝0.995
对应2.58个标准差处
0.568±2.58×0.031=0.568±0.080.568\pm2.58\times0.031 = 0.568\pm0.080.568±2.58×0.031=0.568±0.08
即 0.488∼0.648=48.8%∼64.8%0.488\sim0.648=48.8\%\sim64.8\%0.488∼0.648=48.8%∼64.8%
有99%的几率，48.8%~64.8%的老师认为计算机是必备的
问题2：
保持99％置信水平的前提下，如何缩小置信区间？
抽取更大的样本.
(2) 小样本容量置信区间
7个患者在服用新药3个月后测量血压．其血压上升值分别为1.5, 2.9, 0.9, 3.9, 3.2, 2.1, 1.9．为总体中所有病人的血压升高真正期望值建立一个95％的置信区间。
这里样本容量太小了，不能认为其样本均值为正态分布，不能使用中心极限理论。可以认为是t分布，查t分布表
即 1.38∼3.31.38\sim3.31.38∼3.3
参考资料：
可汗学院统计学：https://www.bilibili.com/video/av7199273/?p=73
简客：https://jentchang.github.io/contents/math/statistical.html
《深入浅出统计学》
统计学3：中心极限定理、参数估计：点估计和区间估计（置信区间）相关推荐
- [统计学理论基础] 中心极限定理与大数定律的区别
一. 中心极限定理 下图形象的说明了中心极限定理 当样本量N逐渐趋于无穷大时,N个抽样样本的均值的频数逐渐趋于正态分布,其对原总体的分布不做任何要求,意味着无论总体是什么分布,其抽样样本的均值的频数的 ...
- 5.参数估计——点估计与区间估计概念，置信区间的公式求法与Python实现求出结果
1.点估计 什么是点估计 设总体X的分布形式已知,但它的一个或多个参数未知,借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题 注意: 点估计的问题就是要构造一个适当的统计量(估计 ...
- 【统计学】中心极限定理
假设有1000名学生(总体),平均身高是176cm.现在对该总体进行随机抽样,一次抽50人,共抽30次.对于每一次抽样,都能求得样本(50人)的平均身高,最终会获得30个样本的平均身高. 中心极限定理 ...
- 区间估计——置信区间
可参考上一篇博文 抽样与抽样分布--中心极限定理.点估计 1. 区间估计 1.1 区间估计 总体参数估计的一个区间,确信该区间将参数值纳入其中. 区间估计的形式:点估计±边际误差 1.2 置信区间 区 ...
- 统计知识基础（二）点估计、区间估计、大数定律及中心极限定理
点估计 点估计指直接以样本统计量代替总体参数的一种统计量估计方法,例如:用样本均值估计未知的总体均值.举一个通俗点的例子就是: 假设老师想要知道整个年级的学生平均身高,但由于整个年级人数太多,想要每 ...
- 考研：研究生考试(七天学完)之《概率与统计》研究生学霸重点知识点总结之目录(随机事件、条件概率与独立性、随机变量的函数及其分布(数字特征)、统计学、统计量与抽样分布、点估计、区间估计、假设检验
考研:研究生考试(七天学完)之<概率与统计>研究生学霸重点知识点总结之目录(随机事件.条件概率与独立性.随机变量的函数及其分布(数字特征).统计学.统计量与抽样分布.点估计.区间估计.假设 ...
- 【定量分析、量化金融与统计学】统计推断基础（2）---样本均值分布、中心极限定理、正态分布
目录 一.前言 二.样本均值分布 三.中心极限定理 *****中心极限定理 ***大数定理与中心极限定理有什么区别? 四.正态(概率)分布 一.前言 我发现很多人学了很久的统计学,很多总是概念混淆,那 ...
- [数理知识]参数估计：点估计、区间估计及置信区间
文章目录 Preliminaries 数学期望.方差与协方差 常用概率分布及其期望.方差 参数估计问题 一.大数定律及中心极限定理 1 切比雪夫不等式(Chebyshev) 2 大数定律(Law of ...
- 【定量分析、量化金融与统计学】统计推断基础（3）---点估计、区间估计
一.前言 我发现很多人学了很久的统计学,仍然搞不清楚什么是点估计.区间估计,总是概念混淆,那今天我们来盘一盘统计推断基础的点估计.区间估计.这个系列统计推断基础5部分分别是: 总体.样本.标准差.标准 ...
最新文章
- 5行Python代码实现图像分割
- C# Windows CE使用小技巧实例
- Go圣经-学习笔记之defer和异常处理
- 订阅者java_RxJava：“java.lang.IllegalStateException：只允许一个订阅者！”
- day57:00:26:34
- java 内存模型堆和本地方法
- 6.0系统设备Xposed框架激活教程
- GDI C++ 位图的绘制
- pta数据结构 彩虹瓶（c++实现）（详解）
- 在NIO.2中使用文件和目录
- 【转】Windows Server 2012 R2 双网卡绑定
- STP-2-三个选择
- 都昌时间轴控件功能说明
- r4烧录卡内核安装_R4 Wood内核怎么用？R4烧录卡Wood R4内核详细使用教程
- union myun { struct{ int x; int y; int z; }u; int k; }a;
- Dapr for dotnet | 服务调用-Service invoke（HTTP协议）
- iOS 一一 frame和Bounds 以及frame和bounds区别
- 人生不该有如此压力，来吃下这口缓解焦虑的良药[50P]
- python建筑案例_有哪些关于 Python 在建筑中的应用和教程？
- flipboard的翻页效果的实现