CFD解决一维标量问题（迎风、Lax-Wendroff、TVD、WENO5+3阶Runge-Kutta）

手写朴素小代码，有错也不要给我指出。

一、问题描述

二、数值方法

2.1 一阶迎风格式

2.2 Lax-Wendroff 格式

2.3 TVD 格式

2.4 空间 5 阶精度 WENO，时间 3 阶 Runge-Kutta 方法

三、程序设计框图(MATLAB)

3.1 一阶迎风格式(关键程序见附录)

3.2 Lax-Wendroff 格式(关键程序见附录)

3.3 TVD 格式(关键程序见附录)

3.4 空间 5 阶精度 WENO，时间 3 阶 Runge-Kutta 方法(关键程序见附录)

四、计算结果分析

4.1 一阶迎风格式

4.2 Lax-Wendroff 格式

4.3 TVD 格式 TVD 格式

4.4 空间 5 阶精度 WENO，时间 3 阶 Runge-Kutta 方法

五、总结

一阶迎风格式：

Lax-Wendroff 格式：

TVD 格式：

WENO 格式：

一、问题描述

二、数值方法

2.1 一阶迎风格式

2.2 Lax-Wendroff 格式

2.3 TVD 格式

根据反扩散思路，将Lax-Wendroff格式改写为：

2.4 空间 5 阶精度 WENO，时间 3 阶 Runge-Kutta 方法

三、程序设计框图(MATLAB)

3.1 一阶迎风格式(关键程序见附录)

3.2 Lax-Wendroff 格式(关键程序见附录)

3.3 TVD 格式(关键程序见附录)

3.4 空间 5 阶精度 WENO，时间 3 阶 Runge-Kutta 方法(关键程序见附录)

四、计算结果分析

4.1 一阶迎风格式

一阶迎风格式结果如图 1 所示：

对计算结果进行分析，一阶迎风格式具有一阶阶段误差，在空间和时间上由一阶精度，无论在任何计算条件下都不会引起解的振荡，是绝对稳定的。但是当网格数较大时，假扩散严重，为避免此问题，常需要加密网格。同时当存在较大梯度时一阶迎风格式会给解带来严重的数值扩散。

4.2 Lax-Wendroff 格式

Lax-Wendroff 格式结果如图 2 所示：

Lax-Wendroff 格式引入了人工粘性，通过添加粘性项可以使时间项达到二阶精度。不但克服了不稳定性，而且抵消了时间误差，提高了时间精度。根据结果分析，Lax-Wendroff 方法相比迎风格式求解的结果耗散性要小得多，但是在不连续处的上游会产生震荡，在下游震荡不明显。

4.3 TVD 格式 TVD 格式

结果如图 3 所示：

对 TVD 格式求解结果进行分析，在 TVD 格式中，通过引入与解的性质有关的限制因子 Limner，使计算格式既具有较高的离散精度同时又避免解的高频振荡。TVD 格式引起够造的机制可限制间断附近的震荡，但是有较大的数值耗散。

4.4 空间 5 阶精度 WENO，时间 3 阶 Runge-Kutta 方法

结果如图 4 所示：

由结果可以得知，对问题求解空间上使用具有五阶精度的 WENO 格式，时间上使用三阶 Runge-Kutta 格式，可以使计算保持较高的精度，而且 WENO 格式为加权本质无震荡格式，所以间断处不存在震荡。

五、总结

一阶迎风格式：

守恒性：迎风格式在边界面是直接取上游节点的值，虽然上游的定义取决于流动方向，但其计算的通量是一致的。所以迎风格式是满足守恒性的。

有界性：迎风格式满足 Scarborough 的有界性判定准则，离散后得到的系数矩阵是对角占优的，因此其数值结果不会出现像中心差分格式那样的“振荡”现象。但是当网格数较大时，假扩散严重，为避免此问题，常需要加密网格。

运输性：很明显，迎风格式考虑了流动的方向性，所以是具有输运性的。

计算精度：迎风格式是一个基于向后差分的基本迎风格式，根据泰勒级数误差分析可知，它只有一阶精度。因此，在正式计算时，一阶迎风格式目前常被二阶迎风格式或其他高阶格式所代替。

Lax-Wendroff 格式：

这个格式对时间项采用一阶向前差分，对空间项采用二阶中心差分。如果在方程右边加上一项粘性项，使其和这个时间项产生的误差相抵，那么就满足稳定性条件了。Lax-Wendroff 格式时间项和空间项都是二阶精度,不但克服了不稳定性，而且抵消了时间误差，提高了时间精度。

TVD 格式：

对于 TVD 格式分析可知，任何单调格式都是 TVD 格式，任何 TVD 格式都是保单调格式。而由于任何线性的保单调格式必为单调格式，而单调格式只有一阶精度，因此高精度的 TVD 格式就只能是非线性的保单调格式。所以对于 TVD 格式而言，下限就是迎风格式，具有最少的格式粘性。本题中应用的 Lax-Wendroff 格式不是 TVD 格式。对 Lax-Wendroff 格式引入限制器函数