有向无环图——AOE网(关键路径)

2024-03-31 05:34:19

有向无环图：无环的有向图，简称DAG图(Directed Acycline Graph)

有向无环图常用来描述一个工程或系统的进行过程。（通常吧计划、施工、生产、程序流程等当成是一个工程）
一个工程可以分为若干个子工程，只要完成了这些子工程（活动），就可以导致整个工程的完成

AOE网：关键路径

用一个有向图表示一个工程的各子工程及其相互制约的关系，以弧表示活动，以顶点表示活动的开始或结束事件，称这种有向图为边表示活动的网，简称为AOE网（Activity On Edge）
把工程计划表示为边表示活动的网络，即AOE网，用顶点表示事件，弧表示活动，弧的权表示活动持续时间。事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始
例：准备一个小型家庭宴会，晚6点开始最迟几点开始准备？压缩哪项活动时间可以使总时间减少？

事件v1————表示整个工程开始（源点：入度为0的顶点）
事件v7————表示整个工程结束（汇点：出度为0的顶点）

对于AOE网，我们关心连个问题：

完成整项工程至少需要多少时间？
哪些活动是影响工程进度的关键

关键路径——路径长度最长的路径
路径长度——路径上各活动持续时间之和

确定关键路径，需要定义4个描述量：

ve(vj)——表示事件vj的最早发生时间
例：ve(v1) = 0 ve(v2) = 30
vl(vj)——表示事件vj的最迟发生时间
例：ve(v4) = 165
e(i)——表示活动ai的最早开始时间
例：e(a3) = 30
l(i)———表示活动ai的最迟开始时间
例：l(a3) = 120
l(i) - e(i)——表示完成活动ai的时间余量。例：l(3) - e(3) = 90
关键活动——关键路径上的活动，即l(i)-e(i)==0的活动

如何找l(i)-e(i)==0的关键活动？

设活动ai用弧<j, k>表示，其持续时间记为：Wj,k
则有：
(1) e(i) = ve(j)
(2) l(u) = vl(k)-Wj,k
如何求ve(j)和vl(j)?
（1）从ve(1)=0开始向前递推，ve(j) = Max{ve(i) + Wi,j}, <i,j>∈T， 2 ≤ j ≤ n，其中T是所有以j为头的弧的集合。
（2）从vl(i)=Min{vl(j) - Wi,j}, <i,j> ∈ S，1 ≤ i ≤ n-1，其中S是所有以i为尾的弧的集合。

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