数学建模清风微信公众号的习题答案(挑战篇2)

以下题目是来自微信公众号数学建模清风老师的题目

以下是个人结合在微信公众号上学到的知识去做的，如有不正确或不足之处，欢迎指正！

Q6.最近短视频上有一个有趣的街头抽奖游戏，规则如下：摆摊的店家准备了24个大小相同的玻璃球，其中红黄蓝各8个，装进一个袋子里，在看不见的情况下，玩家从袋子中抓出12个球，然后计算每种颜色球的个数，颜色多的球放在前面。比如5个红色4个蓝色3个黄色，这样就属于543。玩家抓出的12个球的颜色分布情况一定在下表所示的13种情况中。假设参与这个游戏是免费的，如果抽中了相应的情况，店家需要向玩家支付表中第二行所对应的金额。注意，除了543这一种情况玩家要赔给店家30元外，其余的12种情况玩家都是赚钱的，如果你运气好抓到了840这种情况（例如抽出了8个蓝球4个红球），你可以赚300元。请用MATLAB模拟这个游戏并多次运行你的代码，如果你作为玩家参与多次你是赚了还是亏了？你能从理论上解释原因吗？

情况	840	831	822	750	741	732	660
金额	300	200	200	80	60	15	15
情况	751	642	633	552	543	444
金额	10	5	5	5	-30	5

解：我就不详细说了，代码也比较简单，后面有注释。经过多次实验，结果基本上都是543，所以玩家参与多次是亏了的。俺有幸抽到一次831。嘿嘿，有没有人从理论解释，知道的话告诉我一下。

%1~8；9~16,；17~24；
clear,clc
A=randperm(24,12);   %24个随机抽12个
%颜色划分，即1~8为红，9~16为黄，17~24为蓝
for i=1:length(A)if A(i)<9A1(i)=A(i);  %对应颜色为红的数字矩阵elseif A(i)<17&A(i)>8A2(i)=A(i);   %对应颜色为黄的数字矩阵elseA3(i)=A(i);   %对应颜色为蓝的数字矩阵end
end
n1=find(A1>0);    %这里索引的是矩阵大于0的位置
n2=find(A2>0);
n3=find(A3>0);
%各颜色的个数总和，即大于0的位置有多少个
N1=length(n1);
N2=length(n2);
N3=length(n3);
X=horzcat(N1,N2,N3);      %矩阵拼接
sort(X,'descend')         %降序

Q7.层次分析法是数学建模中一个常用的模型，它主要用于解决评价类问题，也可以为评价体系中的指标确定权重。
Q8.在上一小题的基础上，请写出一段代码能够随机生成一个n阶（例如n=5）的判断矩阵，该判断矩阵要满足上一问中的三个特点。

提示：（1）判断矩阵的主对角线元素一定是1，为什么？（2）本章3.5节中我们学会了如何生成一个随机的对称矩阵，一个n阶的对称矩阵中我们只需要生成n*(n-1)/2个随机数，那么本题中这个n阶的判断矩阵中我们要生成多少个随机数？
现在给你一个矩阵A，请判断A是否符合层次分析法中判断矩阵的三个特点。

(7)
解：前面两个特点就不用说了，主要是特点3，对任意的i,j=1,2,...,n,i,j=1,2,...,n,i,j=1,2,...,n,均有aij×ajia_{ij} \times a_{ji}aij×aji=1,我们可以换个角度去看，既然对每个i,ji,ji,j,都有aij×ajia_{ij} \times a_{ji}aij×aji=1，则这个矩阵有 A.∗A′A.*A'A.∗A′必须是一个全为1的矩阵，所以我们只要判断A.∗A′A.*A'A.∗A′这个矩阵里的所以元素都是1即可。

function Tt=T(A)
[m,n]=size(A);
k=sum(A.*A');
for i=1:mfor j=1:nif m~=n   %判断特点1disp('输入的矩阵不是方阵，不满足特点1')breakelseif A(i,j)>9|A(i,j)<1/10   %判断特点2disp('不满足特点2')breakelseif sum(k)==m^2   %判断特点3disp('输入的矩阵是符合所有特点的')elsedisp('输入的矩阵不满足特点3')endend
end

大家可以在命令窗口执行以下矩阵：

clear,clc
A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
B=[1 2 11;1/12 6 5;4 7 8];
C=[1 2 3;1/2 1 2;1/3 1/2 1];
T(A)
T(B)
T(C)

(8)
解：这个和第7题类似，可以参考本章3.5节

但是不同的是：处于对称位置的元素是倒数，至于为什么对角线必须全为1，是因为对任意的i,j=1,2,...,n,i,j=1,2,...,n,i,j=1,2,...,n,均有aij×ajia_{ij} \times a_{ji}aij×aji=1。以下代码有一个细节，就是C、H、G这里是为了使G不出现nannannan或infinfinf ,即分母有效(不能为0)。代码中先取去上三角或下三角都可以，即triu与tril是可以互换的。

clear,clc
n=5;
num=n*(n-1)/2;
A=zeros(n);
A(triu(true(n),1))=randi([1,9],num,1);
B=A';
C=triu(ones(n));   %上三角全为1
H=B+C;
G=1./H;          %取倒数
K=tril(G,-1);      %下三角元素
W=A+K+diag(diag(ones(n)))
W.*W'       %验证是否全为1矩阵W =1.0000    4.0000    7.0000    9.0000    7.00000.2500    1.0000    4.0000    5.0000    9.00000.1429    0.2500    1.0000    4.0000    4.00000.1111    0.2000    0.2500    1.0000    9.00000.1429    0.1111    0.2500    0.1111    1.0000ans =1     1     1     1     11     1     1     1     11     1     1     1     11     1     1     1     11     1     1     1     1

这说明是满足要求的。也可以把矩阵w代入(7)中去验证。

Q9.生成100个随机的点，这些点都位于单位圆内：。注意，要求MATLAB输出的x和y都是长度为100的向量，分别表示这100个点的横纵坐标。

提示：我们可以借助圆的极坐标公式来生成随机数。下方我为大家准备了一个图形可视化的代码，大家将自己生成随机数的核心代码放入答题区域内，然后运行整段程序，就会出现类似于右侧的图形。如果你的点都位于单位圆内，则说明你的答案正确。

解：利用极坐标的知识，注意的是角度随机，极径也随机。

clear,clc
t=0:0.01:2*pi;
xx=cos(t);
yy=sin(t);
plot(xx,yy,'r')
hold on
axis equal
axis([-1 1 -1 1])
k=2*pi*rand(1,100);
p=rand(1,100);          %利用圆的极坐标
x=p.*cos(k);
y=p.*sin(k);
scatter(x,y,'b*')

效果如下：

Q10.和上一题的思路类似，请生成100个随机的点，这些点都位于圆内。其中，圆心的坐标为(10,4)，半径为10。

解：根据上面改动一下圆心和半径就可以了。

clear,clc
t=0:0.01:2*pi;
xx=10+10*cos(t);
yy=4+10*sin(t);
plot(xx,yy,'r')
hold on
axis equal
axis([-1 1 -1 1])
k=2*pi*rand(1,100);
p=rand(1,100);          %利用圆的极坐标
x=10+10*p.*cos(k);
y=4+10*p.*sin(k);
scatter(x,y,'b*')

效果如下：

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