算法导论习题解答 16-1 （找零问题）

考虑用最少的硬币找nnn美分零钱的问题。假定每种硬币的面额都是整数。

a. 设计贪心算法求解找零问题，假定有25美分、10美分、5美分和1美分4中面额的硬币。证明你的算法能找到最优解。

b. 假定硬币面额是ccc的幂，即面额为c0c^0c0，c1c^1c1，⋯\cdots⋯，ckc^kck，ccc和kkk为整数，c>1c > 1c>1，k≥1k \ge 1k≥1。证明：贪心算法总能得到最优解。

c. 设计一组硬币面额，使得贪心算法不能保证得到最优解。这组硬币面额中应该包含1美分，使得对每个零钱值都存在找零方案。

d. 设计一个O(nk)O(nk)O(nk)时间的找零算法，适用于任何kkk种不同面额的硬币，假定总是包含1美分硬币。

Answer:

贪心算法：

设找零的硬币数量为mmm，那么找零的硬币序列为{i1,i2,⋯,im}\{i_1,i_2,\cdots,i_m\}{i1,i2,⋯,im}，对于iri_rir的选取，采用如下规则：
ir=max{ci∣ci≤n−∑l=1r−1il}i_r = max\{c_i | c_i \le n - \sum_{l=1}^{r-1}i_l\}ir=max{ci∣ci≤n−l=1∑r−1il}

即每一个iri_rir都取尽可能大的面额，此处1≤r≤m1 \le r \le m1≤r≤m。下证该贪心算法的能够得到最优解。

取最优解中与贪心算法的找零序列{i1,i2,⋯,im}\{i_1,i_2,\cdots,i_m\}{i1,i2,⋯,im}从第一个元素起连续相同最长的最优解序列{j1,j2,⋯,jk}\{j_1,j_2,\cdots,j_k\}{j1,j2,⋯,jk}，此处有k≤mk \le mk≤m。那么假设存在一个rrr它们满足当l≤rl \le rl≤r时，都有il=jli_l = j_lil=jl，而ir+1≠jr+1i_{r+1} \ne j_{r+1}ir+1=jr+1。对于这个情况我们有如下分析判断：

令n′=n−∑l=1riln' = n - \sum_{l=1}^{r}i_ln′=n−∑l=1ril。那么两个序列在第r+1r+1r+1个找零之前，剩余未找零的值都为n′n'n′。
由于贪心算法一定会选择最大的可选面额，故ir+1>jr+1i_{r+1} > j_{r+1}ir+1>jr+1。
在剩余的{jr+1,⋯,jk}\{j_{r+1},\cdots,j_k\}{jr+1,⋯,jk}中，若存在jl=ir+1j_l = i_{r+1}jl=ir+1，那么互换jr+1j_{r+1}jr+1和jlj_ljl，这样既不影响最优解的正确性，又使得调换后的新序列与贪心算法序列有更长的重复子序列。这与取出的最优解是最长的相同序列的假设不符。故在剩余的最优解子序列{jr+1,⋯,jk}\{j_{r+1},\cdots,j_k\}{jr+1,⋯,jk}中，任意jl≠ir+1j_l \ne i_{r+1}jl=ir+1。
在剩余的{jr+1,⋯,jk}\{j_{r+1},\cdots,j_k\}{jr+1,⋯,jk}中，若存在jl>ir+1j_l > i_{r+1}jl>ir+1，那么ir+1i_{r+1}ir+1就不是小于n′n'n′的最大可选面额，这与贪心算法定义矛盾。综合上一个结论，我们得以推断在剩余的最优解子序列{jr+1,⋯,jk}\{j_{r+1},\cdots,j_k\}{jr+1,⋯,jk}中，任意jl<ir+1j_l < i_{r+1}jl<ir+1。
在最优解序列中，面额5最多只有1个，否则可用面额10来代替。同理有面额1最多有4个；面额10最多两个；面额25数量不限。从而我们发现，只使用面额1的最优解，最多能表示4；只使用面额1、5的最优解，最多能表示9；只使用面额1、5、10的最优解，最多能表示24。即：在本题的币值中，不使用面额大于等于c的硬币就无法表示大于等于c的面额。
结合前两条结论，我们能推出：
ir+1>∑l=r+1kjli_{r+1} > \sum_{l=r+1}^{k}j_lir+1>l=r+1∑kjl
这与两者剩余的值都为n′n'n′相矛盾。

综上所述这样的rrr不存在，必然存在一个最优解序列与贪心算法的序列完全相同。证毕。

这一题的分析过程与上一题基本相同，其中不同的地方在于面额。在本题的面额体系中，若最优解只使用{c0,⋯,cr}\{c^0,\cdots,c^r\}{c0,⋯,cr}就完成了表示，那么所表示的值不可能大于cr+1c^{r+1}cr+1。此处除了ckc^kck，每个币值的硬币在最优解中最多出现c−1c-1c−1个，因此若最优解只使用{c0,⋯,cr}\{c^0,\cdots,c^r\}{c0,⋯,cr}就完成了表示，那么所表示的值最大为
(c−1)∑i=1rci=cr+1−1<cr+1(c-1)\sum_{i=1}^{r}c^i = c^{r+1} - 1 < c^{r+1}(c−1)i=1∑rci=cr+1−1<cr+1

因此最终的结论也与上一题相同，可证明贪心算法能找到最优解。

硬币面额为{1,3,4}\{1,3,4\}{1,3,4}，这样在处理n=6n=6n=6的问题时，贪心算法的序列为{4,1,1}\{4,1,1\}{4,1,1}，最优解为{3,3}\{3,3\}{3,3}。

使用动态规划算法，利用数组元素DP[i]DP[i]DP[i]来记录处理n=in=in=i时所需最少硬币的数量。其中DP[0]=0DP[0] = 0DP[0]=0，表示数额为0时需要0个硬币。那么数组的更新方式为：
DP[i]=min(DP[i−cr]+1∣i−cr≥0,r=1,2,⋯,k)DP[i] = min\left( DP[i-c_r] + 1\quad |\quad i-c_r \ge 0, r = 1,2,\cdots,k \right)DP[i]=min(DP[i−cr]+1∣i−cr≥0,r=1,2,⋯,k)

这样每个DP[i]DP[i]DP[i]计算的时间复杂度为O(k)O(k)O(k)，遍历DPDPDP的时间复杂度为O(n)O(n)O(n)，总的时间复杂度为O(nk)O(nk)O(nk)。

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