12/13章 真空中的静电场

常量

• 电子电量
  e=1.602∗10−19Ce=1.602*10^{-19}Ce=1.602∗10−19C
• 库仑定律比例常数
  kkk
• 真空介电常量
  ε0=14πk=8.85×10−12C2/(N⋅m2)\varepsilon_0 = \frac{1}{4\pi k}=8.85 \times 10^{-12} C^2/(N \cdot m^2)ε0​=4πk1​=8.85×10−12C2/(N⋅m2)
• 真空的磁导率
  μ0=4π×10−7T⋅m/A\mu_0=4\pi\times 10^{-7} T\cdot m/Aμ0​=4π×10−7T⋅m/A

库仑定律

F21=kq1q2r212er21=q1q24πε0r212er21\\ \textbf{F}_{21} = k \frac{q_1q_2}{r^2_{21}}e_{r21} = \frac{q_1q_2}{4\pi \varepsilon _0r_{21}^2} \textbf{e}_{r21} F21​=kr212​q1​q2​​er21​=4πε0​r212​q1​q2​​er21​

电场 电场强度(N/C or V/m)

• 电场强度
  E=Fq\\ E = \frac{F}{q} E=qF​
• 连续带电体的场强
  E⃗=∫dE⃗=∫qdq⋅r^4πε0r2dq=ρdvdq=σdsdq=λdl\\ \vec{E}=\int d\vec{E}=\int_{q} \frac{dq \cdot \hat{r}}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \\ dq = \rho dv \\ dq = \sigma ds \\ dq = \lambda dl E=∫dE=∫q​4πε0​r2dq⋅r^​dq=ρdvdq=σdsdq=λdl

高斯定理

• 单位垂直面积上通过的电力线数目，等于该点场强的量值
  E=lim⁡ΔS⊥→0ΔNΔS⊥=dNdS⊥\\ E=\lim_{\Delta S_\perp \to 0} \frac{\Delta N}{\Delta S_\perp}=\frac{dN}{dS_\perp} E=ΔS⊥​→0lim​ΔS⊥​ΔN​=dS⊥​dN​
• 电通量 Φe\Phi_eΦe​
  Φe=∫SE⃗⋅ds⃗\\ \Phi_e=\int_S \vec{E} \cdot d\vec{s} Φe​=∫S​E⋅ds
• 在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量等于 该曲面所包围电量的代数和除以ε0\varepsilon_0ε0​
  ∮SE⃗⋅dS⃗=∑iqi内ε0\\ \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S}=\frac{\sum_i q_{i内}}{\varepsilon_0} ∮S​E⋅dS=ε0​∑i​qi内​​
• 平面角：单位弧度
  dα=dl0r=dlrcosθ\\ d\alpha = \frac{dl_0}{r} = \frac{dl}{r}cos\theta dα=rdl0​​=rdl​cosθ
  立体角：单位球面度
  dΩ=dSr2cosθ\\ d\Omega = \frac{dS}{r^2}cos\theta dΩ=r2dS​cosθ

静电场的环路定理

• 移动实验点电荷q0q_0q0​，从P1→P2P_1 \rightarrow P_2P1​→P2​，电场力做功：
  A12=∫(P1)(P2)(L)q0E⃗⋅dl⃗=q0∫(P1)(P2)(L)E⃗⋅dl⃗\\ A_{12} = \mathop{\int_{(P_1)}^{(P_2)}} \limits_{(L)} q_0 \vec{E} \cdot d\vec{l} = q_0 \mathop{\int_{(P_1)}^{(P_2)}}\limits_{(L)} \vec{E} \cdot d\vec{l} A12​=(L)∫(P1​)(P2​)​​q0​E⋅dl=q0​(L)∫(P1​)(P2​)​​E⋅dl
  对点电荷
  ∫(p1)(p2)(L)E⃗⋅dl⃗=q4πε0(1r1−1r2)\\ \mathop{\int_{(p_1)}^{(p_2)}}\limits_{(L)} \vec{E} \cdot d\vec{l} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}) (L)∫(p1​)(p2​)​​E⋅dl=4πε0​q​(r1​1​−r2​1​)
  对点电荷系
  ∫(P1)(P2)(L)E⃗⋅dl⃗=∑iqi4πε0(1ri1−1ri2)\\ \mathop{\int_{(P_1)}^{(P_2)}}\limits _{(L)}\vec{E} \cdot d\vec{l} = \sum_i \frac{q_i}{4\pi \varepsilon_0}(\frac{1}{r_{i1}}-\frac{1}{r_{i2}}) (L)∫(P1​)(P2​)​​E⋅dl=i∑​4πε0​qi​​(ri1​1​−ri2​1​)
• 环路定理：静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于0
  ∮LE⃗⋅dl⃗=0\\ \oint \limits_L \vec{E}\cdot d\vec{l} = 0 L∮​E⋅dl=0

电势

• 静电场力做功等于相应电势能的减少
  Aab=∫(a)(b)f⃗⋅dl⃗=Wa−Wb\\ A_{ab} = \int \limits_{(a)}^{(b)}\vec{f}\cdot d\vec{l} = W_a-W_b Aab​=(a)∫(b)​f​⋅dl=Wa​−Wb​
• a，b两点电势差：单位V（伏特）
  ∫(a)(b)E⃗⋅dl⃗=Ua−Ub\\ \int \limits_{(a)}^{(b)}\vec{E} \cdot d\vec{l} = U_a-U_b (a)∫(b)​E⋅dl=Ua​−Ub​
• 点电荷场电势公式
  U=Q4πε0r\\ U = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r} U=4πε0​rQ​
• 任意带电体电势
  U=∫(P)P(0)E⃗⋅dl⃗\\ U = \int \limits _{(P)}^{P(0)}\vec{E} \cdot d\vec{l} U=(P)∫P(0)​E⋅dl
  点电荷系
  U=∑qi4πε0ri,U∞=0\\ U = \sum \frac{q_i}{4 \pi \varepsilon_0 r_i}, \ \ U_\infty = 0 U=∑4πε0​ri​qi​​,  U∞​=0
  连续电荷
  U=∫qdq4πε0r,U∞=0\\ U = \int_q \frac{dq}{4\pi \varepsilon_0 r},\ \ U_\infty = 0 U=∫q​4πε0​rdq​,  U∞​=0
  均匀带电球面
  U={U=Q4πε0R,r<RU=Q4πε0r,r>R\\ U=\left\{ \begin{aligned} U=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R}, & r<R \\ U = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r}, & r>R \end{aligned} \right. U=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​U=4πε0​RQ​,U=4πε0​rQ​,​r<Rr>R​
  无限长均匀带电直线
  U=λ2πε0ln⁡r0r\\ U = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln \frac{r_0}{r} U=2πε0​λ​lnrr0​​
• 平行板电容器两板间的电势差
  ΔU=Ed\\ \Delta U = Ed ΔU=Ed

带点体系的静电能 静电场的能量

• 点电荷在外电场中的电势能
  W=qU\\ W=qU W=qU
• 电偶极子的电势能
  W=−p⃗⋅E⃗\\ W = -\vec{p} \cdot \vec{E} W=−p​⋅E
• 静电场的相互作用能：把各点电荷由现在位置分散至相距无穷远的过程中电场力做的功。
  两个点电荷系统
  W互=q2U21W=12q1U1+12q2U2\\ W_互=q_2 U_{21} \\ W = \frac{1}{2}q_1U_1+\frac{1}{2}q_2U_2 W互​=q2​U21​W=21​q1​U1​+21​q2​U2​
  一般点电荷系
  W互=12∑iqiUi\\ W_互= \frac{1}{2}\sum_i q_iU_i W互​=21​i∑​qi​Ui​
• 连续带电体的静电能（自能）：把电荷无限分割，并分散到相距无穷远时，电场力做的功。
  只有一个带电体
  W=W自=12∫qUdq\\ W = W_自 = \frac{1}{2}\int_q Udq W=W自​=21​∫q​Udq
  多个带电体
  总静电能W=∑iW自i+∑i<jW互ij\\ 总静电能\ \ W = \sum_i W_{自i}+\sum_{i<j}W_{互ij} 总静电能  W=i∑​W自i​+i<j∑​W互ij​
• 静电场的能量
  电场能量密度
  we=dWdV=12ε0E2\\ w_e = \frac{dW}{dV} = \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2 we​=dVdW​=21​ε0​E2

常见带电体的电场强度和电势

• 带电量为Q，半径为R的均匀带电细圆环在轴线上距离圆心x处的
  dE=dq4πε0r2,r2=x2+R2,cos⁡θ=xr,dq=Q2πRdldEx=dEcos⁡θ=xdq4πε0r3=xQdl8π2Rε0r3E=∫dEx=∫02πRxQ8π2Rε0r3dl=xQdl8π2Rε0r3∣02πR电场强度：E=xQ4πε0(x2+R2)3/2电势：U=Q4πε0(x2+R2)1/2\\dE=\frac{dq}{4\pi \varepsilon_0 r^2}, \ r^2=x^2+R^2,\ \cos\theta=\frac{x}{r},\ dq=\frac{Q}{2\pi R}dl \\ dE_x=dE \cos \theta = \frac{xdq}{4\pi\varepsilon_0r^3}=\frac{xQdl}{8\pi^2 R\varepsilon_0r^3} \\ E=\int dE_x=\int_0^{2\pi R} \frac{xQ}{8\pi^2 R\varepsilon_0r^3}dl=\frac{xQdl}{8\pi^2R\varepsilon_0r^3}|_0^{2\pi R} \\ 电场强度：E=\frac{xQ}{4\pi\varepsilon_0(x^2+R^2)^{3/2}} \\ 电势：U=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(x^2+R^2)^{1/2}} dE=4πε0​r2dq​, r2=x2+R2, cosθ=rx​, dq=2πRQ​dldEx​=dEcosθ=4πε0​r3xdq​=8π2Rε0​r3xQdl​E=∫dEx​=∫02πR​8π2Rε0​r3xQ​dl=8π2Rε0​r3xQdl​∣02πR​电场强度：E=4πε0​(x2+R2)3/2xQ​电势：U=4πε0​(x2+R2)1/2Q​

• 电荷线密度为λ的无限长带电直线外的
  ∮SEds=λlε0E2πrl=λlε0电场强度：E=λ2πε0r电势（取到无限长带电直线距离为r0为电势零点）：U=∫rr0Edr=λ2πε0ln⁡r0r\\ \oint_S Eds=\frac{\lambda l}{\varepsilon_0} \\ E 2\pi rl=\frac{\lambda l}{\varepsilon_0} \\ 电场强度：E=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r} \\ 电势（取到无限长带电直线距离为r_0为电势零点）：U=\int_r^{r_0} Edr=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\ln \frac{r_0}{r} ∮S​Eds=ε0​λl​E2πrl=ε0​λl​电场强度：E=2πε0​rλ​电势（取到无限长带电直线距离为r0​为电势零点）：U=∫rr0​​Edr=2πε0​λ​lnrr0​​

• 电荷量密度为σ，半径为R的均匀带电圆盘在轴线上距离圆心x处的
  l2=x2+r2,dq=σds=σ2πrdr,cosθ=xldE=dq4πε0l2=σrdr2ε0l2,dEx=dEcosθ=σxrdr2ε0l3E=∫0Rσxrdr2ε0(x2+r2)3/2=−σx2ε0x2+r2∣0R电场强度：E=σ2ε0(1−xx2+R2)电势：U=σ2ε0(x2+R2−x)\\ l^2=x^2+r^2,\ dq=\sigma ds=\sigma 2\pi rdr,\ cos\theta=\frac{x}{l} \\ dE=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0 l^2}=\frac{\sigma rdr}{2\varepsilon_0 l^2},\ dE_x=dEcos\theta=\frac{\sigma xrdr}{2\varepsilon_0 l^3} \\ E=\int_0^R\frac{\sigma xrdr}{2\varepsilon_0 (x^2+r^2)^{3/2}}=-\frac{\sigma x}{2\varepsilon_0 \sqrt{x^2+r^2}}|_0^R \\ 电场强度：E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}) \\ 电势：U=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(\sqrt{x^2+R^2}-x) l2=x2+r2, dq=σds=σ2πrdr, cosθ=lx​dE=4πε0​l2dq​=2ε0​l2σrdr​, dEx​=dEcosθ=2ε0​l3σxrdr​E=∫0R​2ε0​(x2+r2)3/2σxrdr​=−2ε0​x2+r2​σx​∣0R​电场强度：E=2ε0​σ​(1−x2+R2​x​)电势：U=2ε0​σ​(x2+R2​−x)

• 电荷量密度为σ的无限大均匀带电平板
  电场强度：E=σ2ε0\\ 电场强度：E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} 电场强度：E=2ε0​σ​

• 长度为2L的均匀带电细棒，电荷线密度为λ，中垂线上的
  电场强度：E=λL2πε0yL2+y2电势：U=λ4πε0lnL+L2+y2−L+L2+y2\\ 电场强度：E=\frac{\lambda L}{2\pi\varepsilon_0y\sqrt{L^2+y^2}} \\ 电势：U=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}ln\frac{L+\sqrt{L^2+y^2}}{-L+\sqrt{L^2+y^2}} 电场强度：E=2πε0​yL2+y2​λL​电势：U=4πε0​λ​ln−L+L2+y2​L+L2+y2​​

• 长度为2L、半径为R的圆柱面均匀带电，面电荷密度为σ，圆柱面外轴线上
  电场强度：E=Rσ2ε0[1(x−L)2+R2−1(x+L)2+R2]电势：U=Rσ2ε0lnx+L+(x+L)2+R2x−L+(x+L)2+R2\\ 电场强度：E=\frac{R\sigma}{2\varepsilon_0}[\frac{1}{\sqrt{(x-L)^2+R^2}}-\frac{1}{(x+L)^2+R^2}] \\ 电势：U=\frac{R\sigma}{2\varepsilon_0}ln\frac{x+L+\sqrt{(x+L)^2+R^2}}{x-L+\sqrt{(x+L)^2+R^2}} 电场强度：E=2ε0​Rσ​[(x−L)2+R2​1​−(x+L)2+R21​]电势：U=2ε0​Rσ​lnx−L+(x+L)2+R2​x+L+(x+L)2+R2​​

• 半径为R的球面上均匀分布面密度为σ的电荷，球面外x的
  电场强度：E=Q4πε0x2电势：U=Q4πε0x\\ 电场强度：E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 x^2} \\ 电势：U=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0x} 电场强度：E=4πε0​x2Q​电势：U=4πε0​xQ​

• 半径为R的球体上均匀分布体密度为ρ的电荷，球外x的
  电场强度：E=Q4πε0x2电势：U=Q4πε0x\\ 电场强度：E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 x^2} \\ 电势：U=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0x} 电场强度：E=4πε0​x2Q​电势：U=4πε0​xQ​

14章 静电场中的导体

14.1 导体的静电平衡条件

• 静电平衡状态：导体内部和表面无自由电荷移动的状态。
  这种过程非常快，一种静电平衡状态被破坏，马上建立起新的静电平衡状态。

导体静电平衡的条件

• 用场强来表述
  （1）E⃗内=0\vec{E}_内=0E内​=0
  （2） E⃗表⊥表面\vec{E}_表\perp 表面E表​⊥表面
• 用电势来表述
  导体是等势体：导体等势是导体内电场强度处处为零得到必然结果。
  表面是等势面
• 接地

14.2 静电平衡时导体上的电荷分布规律

• 导体静电平衡时电荷分布在表面
  • 实心导体：σ\sigmaσ可以不为0，，但ρ内\rho_内ρ内​必为0。
  • 导体壳（内无电荷）：σ外\sigma_外σ外​可不为0，但σ内\sigma_内σ内​和E⃗内\vec{E}_内E内​必为0。
  • 导体壳内有电荷：σ外\sigma_外σ外​可不为0，但必有σ内≠0\sigma_内\neq 0σ内​​=0，且q内表=∮Sσ内ds=−qq_内表=\oint_S\sigma_内ds=-qq内​表=∮S​σ内​ds=−q
    导体体内处处不带电，导体带电只能在表面
• 表面场强与面电荷密度的关系
  E表=σε0,E⃗表=σε0r^\\ E_表=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}, \vec{E}_表=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\hat{r} E表​=ε0​σ​,E表​=ε0​σ​r^
• 孤立导体表面电荷分布的特点
  表面凸出的尖锐部分（曲率是正值且较大）电荷面密度较大
  比较平坦部分（曲率较小）电荷面密度较小
  表面凹进的部分，带点面密度最小

14.3 有导体存在时静电场的分析与计算

分析原则：

• 静电平衡的条件
  E内=0,orU=c\\ E_内=0,\ \ or\ U=c E内​=0,  or U=c
• 基本性质方程
  ∮SE⃗⋅dS⃗=∑iqiε0,∮LE⃗⋅dl⃗=0\\ \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{\sum_iq_i}{\varepsilon_0},\ \ \oint_L\vec{E}\cdot d\vec{l}=0 ∮S​E⋅dS=ε0​∑i​qi​​,  ∮L​E⋅dl=0
• 电荷守恒定律
  ∑iQi=const\\ \sum_iQ_i=const i∑​Qi​=const

*14.4 静电场的唯一性定理、静电屏蔽

15章 静电场中的电介质

15.1 电介质及其极化

• 极板电量不变时，在极间充满各向同性均匀电介质前后的场强关系为
  E⃗=E0⃗εr\\ \vec{E} = \frac{\vec{E_0}}{\varepsilon_r} E=εr​E0​​​
• εr\varepsilon_rεr​——介质的相对介电常数（相对电容率）
  εr≥1\\ \varepsilon_r \ge 1 εr​≥1
• 面束缚电荷密度σ′\sigma'σ′，电极化强度PPP
  σ′=dq′dS=Pn=P⃗⋅n^\\ \sigma'=\frac{dq'}{dS}=P_n=\vec{P}\cdot \hat{n} σ′=dSdq′​=Pn​=P⋅n^
• 极化体电荷ρ′\rho'ρ′
  ρ′=−∇⋅P⃗=−(∂Px∂x+∂Py∂y+∂Pz∂z)\\ \rho' =-\nabla\cdot \vec{P}=-(\frac{\partial P_x}{\partial x}+\frac{\partial P_y}{\partial y}+\frac{\partial P_z}{\partial z}) ρ′=−∇⋅P=−(∂x∂Px​​+∂y∂Py​​+∂z∂Pz​​)

电介质的极化规律

• 各向同性电介质
  EEE不太强时，
  P⃗=ε0(εr−1)E⃗=ε0χeE⃗介质的电极化率χe=εr−1≥0\\ \vec{P}=\varepsilon_0 (\varepsilon_r-1) \vec{E}=\varepsilon_0 \chi_e\vec{E} \\介质的电极化率\chi_e=\varepsilon_r-1 \ge 0 P=ε0​(εr​−1)E=ε0​χe​E介质的电极化率χe​=εr​−1≥0

15.2 电位移矢量D⃗\vec{D}D 有介质时的高斯定理

• 电位移、电感强度D⃗\vec{D}D
  量纲⌊D⃗⌋=⌊P⃗⌋=⌊σ⌋\left \lfloor \vec{D}\right\rfloor=\left\lfloor\vec{P}\right\rfloor=\left\lfloor\sigma\right\rfloor⌊D⌋=⌊P⌋=⌊σ⌋，单位C/m2C/m^2C/m2
  D⃗=ε0E⃗+P⃗P⃗=ε0(εr−1)E⃗D⃗=ε0εrE⃗=εE⃗介质的介电常数（电容率）ε=ε0εr\\ \vec{D}=\varepsilon_0 \vec{E} +\vec{P} \\ \vec{P}=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\vec{E} \\ \vec{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}=\varepsilon\vec{E} \\介质的介电常数（电容率）\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r D=ε0​E+PP=ε0​(εr​−1)ED=ε0​εr​E=εE介质的介电常数（电容率）ε=ε0​εr​
• D⃗\vec{D}D的高斯定理
  高斯定理始终成立，但只有在具有某种对称性的情况下，可以解出D⃗\vec{D}D
  ∮SD⃗⋅dS⃗=∑q0内\\ \oint_S \vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum q_{0内} ∮S​D⋅dS=∑q0内​

15.3 静电场的边值关系（边界条件）

• 界面的法向
• 界面的切向
• 对各向同性介质交界面
  

15.4 电容器及其电容

• 孤立导体的电容CCC
  C=QU,单位:法拉F\\ C=\frac{Q}{U},单位:法拉F C=UQ​,单位:法拉F
  真空中孤立导体球的电容C=4πε0RC=4\pi \varepsilon_0RC=4πε0​R
• 电容器的电容C=QΔUC=\frac{Q}{\Delta U}C=ΔUQ​
• 有介质时电容器的电容
  C=εrC0\\ C=\varepsilon_r C_0 C=εr​C0​
  填充介质→\to→增大电容

15.5 电容器的能量、有介质时的电场能量

• 导体组的静电能
  W=∑i12QiUi\\ W=\sum_i\frac{1}{2}Q_iU_i W=i∑​21​Qi​Ui​
• 电容器的能量
  W=12Q2C\\ W=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} W=21​CQ2​
• 有介质时静电场的能量密度
  平板电容器
  C=QU=QEd=QQεSd=εSdwe=12εE2=12D⃗⋅E⃗\\C=\frac{Q}{U}=\frac{Q}{Ed}=\frac{Q}{\frac{Q}{\varepsilon S}d}=\frac{\varepsilon S}{d} \\ w_e=\frac{1}{2}\varepsilon E^2=\frac{1}{2}\vec{D}\cdot\vec{E} C=UQ​=EdQ​=εSQ​dQ​=dεS​we​=21​εE2=21​D⋅E

*铁电体和压电效应

16章 恒定电流

16.1 电流密度

• 电流强度
  I=dqdtI=\frac{dq}{dt} I=dtdq​
• 电流密度
  j⃗=dIdS⊥v^\vec{j}=\frac{dI}{dS_\perp}\hat{v} j​=dS⊥​dI​v^
  j⃗\vec{j}j​的方向//v^//\hat{v}//v^
  j⃗\vec{j}j​的大小j=∣j⃗∣=dIdS⊥j=|\vec{j}|=\frac{dI}{dS_\perp}j=∣j​∣=dS⊥​dI​
• 对任意曲面S，I=∫SdI=∫Sj⃗⋅dS⃗I=\int_SdI=\int_S\vec{j}\cdot d\vec{S}I=∫S​dI=∫S​j​⋅dS
  电流线，某点的切向与该点j⃗\vec{j}j​的方向一致；密度等于jjj，即dNdS⊥=j\frac{dN}{dS_\perp}=jdS⊥​dN​=j
• 电流密度矢量
  j⃗=nqv⃗\\ \vec{j}=nq\vec{v} j​=nqv
  若载流子速度不同，速度为v⃗i的载流子数目为ni\vec v_i 的载流子数目为n_ivi​的载流子数目为ni​
  j⃗=∑ij⃗i=∑iniqv⃗i=nq∑iniv⃗in=nq<v⃗>\\ \vec j=\sum_i\vec j_i=\sum_in_iq\vec v_i=nq\frac{\sum_in_i\vec v_i}{n}=nq<\vec v> j​=i∑​j​i​=i∑​ni​qvi​=nqn∑i​ni​vi​​=nq<v>
  载流子平均定向流动速度，漂移速度<v⃗><\vec v><v>

16.2 恒定电流与恒定电场

• 恒定电流（直流电）
  对任一封闭面满足
  dQdt=0→{∮Sj⃗⋅ds⃗=0，积分形式∇⋅j⃗=0，微分形式\\ \frac{dQ}{dt}=0\to \left\{ \begin{aligned} \oint_S\vec j\cdot d\vec s=0，积分形式 \\ \nabla \cdot \vec j=0，微分形式 \end{aligned} \right. dtdQ​=0→⎩⎪⎨⎪⎧​∮S​j​⋅ds=0，积分形式∇⋅j​=0，微分形式​
  恒定电流的电路必须闭合
  必须有非静电力存在，使正电荷从低电势到高电势
• 基尔霍夫第一定律
  对电路的节点,I入=I出I_入=I_出I入​=I出​
  ∮Sj⃗⋅ds⃗=0→∑iIi=0\\ \oint_S\vec j\cdot d\vec s=0\to \sum_iI_i=0 ∮S​j​⋅ds=0→i∑​Ii​=0
• 恒定电场
  由不随时间改变的电荷分布产生
• 恒定电场和静电场的异同
  • 相同之处:
    电荷分布和电场分布都不随时间改变
    满足高斯定理
    满足环路定理 是保守场∮LE⃗⋅dl⃗=0\oint_L\vec E\cdot d\vec l=0∮L​E⋅dl=0
    可引入电势概念
    恒定电流的电路中各点都有确定的电势
  • 不同之处
    激发静电场的电荷是静止的；产生恒定电流的电荷是运动的电荷，是电荷分布不随时间改变
    静电场，导体内部的静电场为0，维持静电场不需要能量；恒定电场对运动电荷要做功，导体内部恒定电场不为0，维持恒定电场需要能量（伴随着能量的转移）

16.3 电动势emfemfemf

• 非静电性场强
  E⃗K=F⃗Kq\\ \vec E_K=\frac{\vec F_K}{q} EK​=qFK​​
  电动势：电源内负极到正极的方向
  ε=∫−+E⃗K⋅dl⃗\\ \varepsilon=\int_-^+\vec E_K\cdot d\vec l ε=∫−+​EK​⋅dl

16.4 欧姆定律的微分形式

• 欧姆定律
  Uab=IR\\ U_{ab} = IR Uab​=IR
• 对于一段均匀导体
  电阻：R=ρ⋅LS\\ 电阻：R=\rho\cdot \frac{L}{S} 电阻：R=ρ⋅SL​
  ρ\rhoρ电阻率，单位Ω⋅m\Omega\cdot mΩ⋅m
  电导：G=1R=1ρSL=σSL单位：1Ω=S（西门子）\\ 电导：G=\frac{1}{R}=\frac{1}{\rho}\frac{S}{L}=\sigma\frac{S}{L} \\ 单位：\frac{1}{\Omega}=S（西门子） 电导：G=R1​=ρ1​LS​=σLS​单位：Ω1​=S（西门子）
  σ\sigmaσ电导率，单位：1Ω⋅m\frac{1}{\Omega\cdot m}Ω⋅m1​
• 欧姆定律微分形式
  −dU=jdS⋅ρ⋅dldSj=−1ρdUdl=σ⋅Ej⃗=σE⃗\\ -dU=jdS\cdot \rho\cdot\frac{dl}{dS} \\ j=-\frac{1}{\rho}\frac{dU}{dl}=\sigma\cdot E \\ \vec j=\sigma \vec E −dU=jdS⋅ρ⋅dSdl​j=−ρ1​dldU​=σ⋅Ej​=σE
• 基尔霍夫第二定律
  ∑εi=∑IiRi\\ \sum \varepsilon_i=\sum I_iR_i ∑εi​=∑Ii​Ri​

16.5 含源电路

*接触电势差、温差电现象

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