【高数】导数存在，导数就连续吗？
【高数】导数存在，导数就连续吗？
- 一、概念理解
- 二、问题讨论
- 三、小结
一、概念理解
函数连续：y=f(x) 在 x_0 的某邻域有定义，且满足下式。
也就说明，连续意味着，x_0 处 f(x) 的极限存在，也即 f(x) 的左极限=右极限=该点函数值。函数间断：
（1）x_0 处无定义
（2）x_0 处有定义，但该点处函数极限不存在
（3）x_0 处有定义，该点处函数极限存在，但极限值 ≠ 函数值导数存在：（百度定义）
也就说明，某点导数存在，表示该点处左导数、右导数均存在且相等，我们把这个相同的值（也就是该点的导数）记作 f '(x_0)。
二、问题讨论
导数存在表示某区间上导数处处存在，此时原函数连续，但不一定导函数连续。事实上，可构造出无数个这样的函数。
已被研究清楚了，可参考：《【高等数学】导数存在蕴含导数连续？》
https://zhuanlan.zhihu.com/p/28543551进而，导函数存在但不连续，则存在振荡间断点，但不存在无穷间断点和第一类间断点。（下有简要证明，可进一步理解。截图久远，链接丢失……）
单侧导数存在，原函数一定存在单侧极限。
证明思路：写出定义式，分母趋近0，而导函数存在，因此分子也趋近0，得出原函数连续。
三、小结
- 导数存在，原函数存在且连续，但导函数不一定连续。
- 导函数不连续时，存在的间断点是振荡间断点。
- 单侧导数存在可推出原函数单侧极限存在。
P.S. 这个编辑器不能编辑数学公式，有点难用，还没习惯。以后也会有学习过程中的疑问思考和求解过程，就慢慢更新博客吧。顺便分享给有同样疑惑的人，欢迎探讨哇。同时，为了节省时间，有涉及他人的知识成果的部分，如果没取得转载许可，就都不引用，直接放指路链接了。
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